已知關(guān)于x的方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0
①求證:不論k為何值,此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
②若△ABC中,AB、AC的長是已知方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,第三邊BC的長為5.問:k為何值時(shí),△ABC是直角三角形?
分析:(1)先計(jì)算出△=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=1>0,然后根據(jù)△的意義即可得到結(jié)論;
(2)利用求根公式得到x1=k+2,x2=k+1,設(shè)AB=k+2,AC=k+1,再利用勾股定理的逆定理分類討論:AB2+AC2=BC2或AB2+BC2=AC2或AC2+BC2=AB2,分別建立關(guān)于k的方程,解出k的值,然后滿足兩根為正根的k的值為所求.
解答:(1)證明:△=(2k+3)2-4(k2+3k+2)
=1,
∵△>0,
∴不論k為何值,此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)解:x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的解為x=
2k+3±1
2

∴x1=k+2,x2=k+1,
設(shè)AB=k+2,AC=k+1,
當(dāng)AB2+AC2=BC2,即(k+2)2+(k+1)2=52,解得k1=-5,k2=2,由于AB=k+2>0,AC=k+1>0,所以k=2;
當(dāng)AB2+BC2=AC2,即(k+2)2+52=(k+1)2,解得k=-14,由于AB=k+2>0,AC=k+1>0,所以k=-14舍去;
當(dāng)AC2+BC2=AB2,即(k+1)2+52=(k+2)2,解得k=11,由于AB=k+2=13,AC=12,所以k=11,
∴k為2或11時(shí),△ABC是直角三角形.
點(diǎn)評:本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2-4ac:當(dāng)△>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.也考查了一元二次方程的解法以及勾股定理的逆定理.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

8、已知關(guān)于x的方程x2+kx+1=0和x2-x-k=0有一個(gè)根相同,則k的值為( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•綿陽)已知關(guān)于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.
(1)求證:方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)若此方程的一個(gè)根是1,請求出方程的另一個(gè)根,并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•西城區(qū)二模)已知關(guān)于x的方程x2+3x=8-m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求m的最大整數(shù)是多少?
(2)將(1)中求出的m值,代入方程x2+3x=8-m中解出x的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知關(guān)于x的方程x2-2(k+1)x+k2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知關(guān)于x的方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0
(1)求證:無論k取何實(shí)數(shù)值,方程總有實(shí)數(shù)根.
(2)若等腰△ABC的一邊長為a=6,另兩邊長b,c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根,求此三角形的周長.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案