【題目】如圖1,若△ABC和△ADE為等邊三角形,M,N分別EB,CD的中點,易證:CD=BE,△AMN是等邊三角形.
(1)當把△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,CD=BE是否仍然成立?若成立請證明,若不成立請說明理由;
(2)當△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時,△AMN是否還是等邊三角形?若是請給出證明,
(3)在(2)的條件下,求出當AB=2AD時,△ADE與△ABC及△AMN的面積之比S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN.
【答案】(1)(1)CD=BE.理由見解析;(2)△AMN是等邊三角形.理由見解析;(3)4:16:7
【解析】試題分析:(1)可以利用SAS判定△ABE≌△ACD,然后根據(jù)全等三角形的對應邊相等,得到CD=BE.(2)可以證明△AMN是等邊三角形,AD=a,則AB=2a,則AB=2a;(3)根據(jù)已知條件分別求得△AMN的邊長,因為△ADE,△ABC,△AMN為等邊三角形,所以面積比等于邊長的平方的比,據(jù)此解答即可.
(1)CD=BE.理由如下:
∵△ABC和△ADE為等邊三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60o.
∵∠BAE =∠BAC-∠EAC =60o-∠EAC,
∠DAC =∠DAE-∠EAC =60o-∠EAC,
∴∠BAE=∠DAC,
∴△ABE ≌ △ACD.
∴CD=BE.
(2)△AMN是等邊三角形.理由如下:
∵△ABE ≌ △ACD,
∴∠ABE=∠ACD.
∵M、N分別是BE、CD的中點,
∴BM= .
∵AB=AC,∠ABE=∠ACD,
∴△ABM ≌ △ACN.
∴AM=AN,∠MAB=∠NAC.
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o.
∴△AMN是等邊三角形.
(3) 設AD=a,則AB=2a.
∵AD=AE=DE,AB=AC,
∴CE=DE.
∵△ADE為等邊三角形,
∴∠DEC=120 o, ∠ADE=60o,
∴∠EDC=∠ECD=30o,
∴∠ADC=90o.
∴在Rt△ADC中,AD=a,∠ACD=30 o ,
∴ CD= .
∵N為DC中點,
∴,
∴.
∵△ADE,△ABC,△AMN為等邊三角形,
∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN=
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【題目】計算:
(1)23﹣17﹣(﹣7)+(﹣16);
(2)-5+6÷(-2)×;
(3)-36×;
(4)﹣23+|5﹣8|+24÷(﹣3).
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【題目】現(xiàn)定義運算“★”,對于任意實數(shù)a、b,都有a★b=a2﹣3a+b.如:3★5=32﹣3×3+5,若x★2=6,試求實數(shù)x的值.
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【題目】如圖,為測量一座山峰CF的高度,將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段,每一段山坡近似是“直”的.其中測得坡長AB=600米,BC=200米,坡角∠BAF=30°,∠CBE=45°.求山峰的高度CF(結果保留根號)
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【題目】如圖,將一條數(shù)軸在原點O和點B處各折一下,得到一條“折線數(shù)軸”.圖中點A表示﹣11,點B表示10,點C表示18,我們稱點A和點C在數(shù)軸上相距29個長度單位.動點P從點A出發(fā),以2單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運動,從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话,之后立刻恢復原速;同時,動點Q從點C出發(fā),以1單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負方向運動,從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼膬杀叮笠擦⒖袒謴驮伲O運動的時間為t秒.
問:(1)動點P從點A運動至C點需要多少時間?
(2)P、Q兩點相遇時,求出相遇點M所對應的數(shù)是多少;
(3)求當t為何值時,P、O兩點在數(shù)軸上相距的長度與Q、B兩點在數(shù)軸上相距的長度相等.
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【題目】如圖,拋物線的對稱軸為軸,且經(jīng)過(0,0),()兩點,點P在拋物線上運動,以P為圓心的⊙P經(jīng)過定點A(0,2),
(1)求的值;
(2)求證:點P在運動過程中,⊙P始終與軸相交;
(3)設⊙P與軸相交于M,N (<)兩點,當△AMN為等腰三角形時,求圓心P的縱坐標.
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【題目】如圖,直線l上有AB兩點,AB=18cm,點O是線段AB上的一點,OA=2OB
(1)OA= cm , OB= cm;
(2)若點C是直線AB上一點,且滿足AC=CO+CB,求CO的長;
(3)若動點P,Q分別從A,B同時出發(fā),向右運動,點P的速度為2cm/s,點Q的速度為1cm/s.設運動時間為ts,當點P與點Q重合時,P,Q兩點停止運動.
①當t為何值時,2OP﹣OQ=3;
②當點P經(jīng)過點O時,動點M從點O出發(fā),以4cm/s的速度也向右運動.當點M追上點Q后立即返回,以4cm/s的速度向點P運動,遇到點P后再立即返回,以4cm/s的速度向點Q運動,如此往返.當點P與點Q重合時,P,Q兩點停止運動.此時點M也停止運動.在此過程中,點M行駛的總路程是多少?
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【題目】計算:
(1)(﹣1)2014+(﹣)﹣2 ﹣(3.14﹣π)0;
(2)(2a+3b)(2a﹣3b)+(3b﹣a)2;
(3)先化簡再求值:x(x+y)﹣(x+y)2+2xy,其中x=,y=﹣25.
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【題目】一個多項式A減去多項式2x2+5x﹣3,某同學將減號抄成了加號,運算結果為﹣x2+3x﹣5,那么正確的運算結果是( )
A.﹣3x2﹣2x﹣4
B.﹣x2+3x﹣7
C.﹣5x2﹣7x+1
D.無法確定
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