Question

6．已知在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC，且BD=4，高AD上有一動(dòng)點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），聯(lián)結(jié)BE并延長(zhǎng)與邊AC相交于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，且BF⊥AC時(shí)，求AF；
（2）當(dāng)DC=3，設(shè)DE=x，AF=y，請(qǐng)建立y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求出BE，再證明△BED∽△AEF，得到$\frac{AF}{BD}$=$\frac{AE}{BE}$，列出方程即可解決．
（2）作CK⊥BC，交BF的延長(zhǎng)線于K，由AD∥KC，得到$\frac{ED}{CK}$=$\frac{BD}{BC}$，求出CK，代入$\frac{AE}{CK}$=$\frac{AF}{FC}$即可解決問(wèn)題．
（3）只有AE=AF，列出方程即可解決．

解答 解：（1）∵AD⊥BD，∠ABD=45°，
∴BD=AD=4，
∵AE=ED=2，在RT△BED中，BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵∠BED=∠AEF，∠BDE=∠AFE=90°，
∴△BED∽△AEF，
∴$\frac{AF}{BD}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{AF}{4}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴AF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
（2）作CK⊥BC，交BF的延長(zhǎng)線于K．
∵AD⊥BC，
∴AD∥KC，
∴$\frac{ED}{CK}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{x}{CK}$=$\frac{4}{7}$，
∴CK=$\frac{7}{4}$x，
∵$\frac{AE}{CK}$=$\frac{AF}{FC}$，
∴$\frac{4-x}{\frac{7}{4}x}$=$\frac{y}{5-y}$，
∴y=$\frac{80-20x}{3x+16}$．（0＜x＜4）．
（3）∵∠AEF＞∠DAC，∠EFA＞∠EAF，
∴只有可能∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴4-x=$\frac{80-20x}{3x+16}$，
解得：x=$\frac{4}{3}$或4（舍棄）．
∴當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形綜合題、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．