Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16cm，BC=12cm．D、E分別為邊AB、BC的中點，連接DE．點P從點A出發(fā)，沿折線AD-DE-EB運動，到點B停止．點P在線段AD上以5cm/s的速度運動，在折線DE-EB上以1cm/s的速度運動．當點P與點A不重合時，過點P作PQ⊥AC于點Q，以PQ為邊作正方形PQMN，使點M在線段AQ上．設點P的運動時間為t（s）．
（1）當點P在線段DE上運動時，線段DP的長為t-2cm（用含t的代數式表示）．
（2）當點N落在AB邊上時，求t的值．
（3）設正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形面積為S（cm²），直接寫出S與t的函數關系式以及相應的自變量t的取值范圍．
（4）連接CD，當點N與點D重合時，有一點H從點M出發(fā)，在線段MN上以6cm/s的速度沿M-N-M連續(xù)做往返運動，在點P的整個運動過程中，請你求出點H落在線段CD上時t的值．

Answer 1

分析 （1）根據路程=速度×時間即可解決．
（2）分兩種情形討論①點N與D重合時，②點N落在線段DB上時分別求解即可．
（3）分5種情形討論即可：①當0≤t≤2時，如圖2中，②當2＜t≤8時，如圖3中，S=S_{正方形PQMN}-S_△DNK③當8＜t≤10時，④當10＜t≤$\frac{76}{7}$時，如圖4中，S=PC²，
⑤當$\frac{76}{7}$＜t≤16時，S=S_{正方形MNPQ}-S_△NKH分別求解即可．
（4）有4次相遇，分別列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=16，BC=12，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=20，
∵點D為AB中點，
∴AD=10，
∴點P在AD段的運動時間為$\frac{10}{5}$=2s；
∴當點P在線段DE上運動時，DP段的運動時間為（t-2）s，
∵DE段運動速度為1，
∴DP=（t-2）cm；
故答案為t-2．
（2）如圖1中，點N與D重合時，∵PQ=EC=PN=6，
∴點P運動時間t=2+6=8秒，
點N落在線段DB上時，設P′N′=x，
∵P′N′∥AC，
∴$\frac{P′N′}{AC}$=$\frac{BP′}{BC}$，
∴$\frac{x}{16}$=$\frac{12-x}{12}$，
∴x=$\frac{48}{7}$，
∴P′E=$\frac{6}{7}$，
∴點P運動時間t=2+8+$\frac{6}{7}$=$\frac{76}{7}$秒．

（3）如圖2中，①當0≤t≤2時，∵KM∥PQ，
∴$\frac{KM}{PQ}$=$\frac{AM}{AQ}$，
∴$\frac{KM}{3t}$=$\frac{t}{4t}$，
∴KM=$\frac{3}{4}$t，
∴S=S_△APQ-S_△AKM=$\frac{1}{2}$•4t•3t-$\frac{1}{2}$•t•$\frac{3}{4}$t=$\frac{45}{8}$t²．
②當2＜t≤8時，如圖3中，
S=S_{正方形PQMN}-S_△DNK=36-$\frac{1}{2}$•（6-$\frac{3}{4}$t）•[6-（t-2）]=-$\frac{3}{8}$t²+6t+12．
③當8＜t≤10時，S=36，
④當10＜t≤$\frac{76}{7}$時，如圖4中，S=PC²=[6+（t-10）]²=t²-8t+16．
⑤當$\frac{76}{7}$＜t≤16時，如圖5中，
∵PH∥AC，
∴$\frac{PH}{AC}$=$\frac{BP}{BC}$，
∴$\frac{PH}{16}$=$\frac{6-（t-10）}{12}$，
∴PH=$\frac{4}{3}$（16-t），
∴NH=（6+（t-10）-$\frac{4}{3}$（16-t）=$\frac{7}{3}$t-$\frac{76}{3}$，
∴NK=$\frac{3}{4}$NH=$\frac{7}{4}$t-19，
∴S=S_{正方形MNPQ}-S_△NKH=（t-4）²-$\frac{1}{2}$•（$\frac{7}{4}$t-19）（$\frac{7}{3}$t-$\frac{76}{3}$）=-$\frac{25}{24}$t²+$\frac{109}{7}$t-$\frac{674}{7}$．
綜上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{45}{8}{t}^{2}}&{（0＜t≤2）}\\{-\frac{3}{8}{t}^{2}+^t+12}&{（2＜t≤8）}\\{36}&{（8＜t≤10）}\\{{t}^{2}-8t+16}&{（10＜t≤\frac{76}{7}）}\\{-\frac{25}{24}{t}^{2}+\frac{109}{7}t-\frac{674}{7}}&{（\frac{76}{7}＜t≤16）}\end{array}\right.$．
（4）第一次相遇由題意：$\frac{6（t-8）}{8-（t-8）}=\frac{3}{4}$，解得t=$\frac{80}{9}$，
第二次相遇由題意：$\frac{6（t-8）-6}{t-8}$=$\frac{3}{4}$，解得t=$\frac{64}{7}$．
第三次相遇由題意：$\frac{6（t-8）-12}{t-4}$=$\frac{3}{4}$，解得t=$\frac{76}{7}$．
第四次相遇由題意：$\frac{t-4-[6（t-8）12-（t-4）]}{t-4}$=$\frac{3}{4}$，解得t=$\frac{220}{19}$．
∴點P的整個運動過程中，點H落在線段CD上時t的值為$\frac{80}{9}$秒或$\frac{64}{7}$秒或$\frac{76}{7}$秒或$\frac{220}{19}$秒．

點評 本題考查相似綜合題、正方形的性質、相似三角形的性質平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是正確畫出圖形，確定自變量的取值范圍，本題計算量大，比較難，屬于中考壓軸題．