Question

如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，弦AB⊥OP，垂足為C，OP與⊙O相交于D點(diǎn)，已知OP=4，∠OPA=30°．求OC和AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì),勾股定理

專(zhuān)題：

分析：利用切線(xiàn)的性質(zhì)和垂徑定理推知△OAP和△OCA為直角三角形．利用“30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”求得OA、OC的長(zhǎng)度；然后在直角△OAC中，利用勾股定理可以求得AC的長(zhǎng)度，則AB=2AC．

解答：解：∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴∠OAP=90°．
∵在Rt△OAP中，∠OPA=30°，
∴∠AOP=60°．
∵AB⊥OP，
∴∠OAC=30°，
∴OA=

1

2

OP=2，OC=

1

2

OA=1，
∴AC=

OA2-OC2

=

22-12

=

3

，
∴AB=2AC=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線(xiàn)性質(zhì)，勾股定理．解題時(shí)，需要注意：含30度角的三角形是直角三角形．