【題目】如圖,以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),直線x=1交x軸于點(diǎn)B.點(diǎn)為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),作直線PCPO,交直線x=1于點(diǎn)C.過P點(diǎn)作直線MN平行于x軸,交y軸于點(diǎn)M,交直線x=1于點(diǎn)N.記AP=x,PBC的面積為S.

(1)當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí),求證:OPM≌△PCN

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí),點(diǎn)C也隨之在直線x=1上移動(dòng),求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;

(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí),PBC是否可能成為等腰三角形?如果可能,直接寫出所有能使PBC成為等腰三角形的x的值;如果不可能,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見解析;(2)S=x2x+<x<).(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)或(,1﹣).

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)OPC=90°和同角的余角相等,我們可得出OPMPCN中兩組對(duì)應(yīng)角相等,要證兩三角形全等,必須有相等的邊參與,已知了OA=OB,因此三角形OAB是等腰直角三角形,那么AMP也是個(gè)等腰三角形,AM=MP,OA=OB=MN,由此我們可得出OM=PN,由此我們可得出兩三角形全等.

(2)分兩種情況進(jìn)行討論:①點(diǎn)C在第一象限時(shí),②點(diǎn)C在第四象限時(shí).分別利用S=SPBC=BCPN求解即可.

(3)要分兩種情況進(jìn)行討論:①當(dāng)C在第一象限時(shí),要想使PCB為等腰三角形,那么PC=CB,PBC=45°,因此此時(shí)P與A重合,那么P的坐標(biāo)就是A的坐標(biāo).②當(dāng)C在第四象限時(shí),要想使PCB為等腰三角形,那么PB=BC,在等腰RTPBN中,我們可以用x表示出BP的長(zhǎng),也就表示出了BC的長(zhǎng),然后根據(jù)(1)中的全等三角形,可得出MP=NC,那么可用這兩個(gè)含未知數(shù)x的式子得出關(guān)于x的方程來求出x的值.那么也就求出了PM、OM的長(zhǎng),也就得出了P點(diǎn)的坐標(biāo).

證明:(1)如圖,

OMBN,MNOBAOB=90°

四邊形OBNM為矩形

MN=OB=1,PMO=CNP=90°

OA=OB

∴∠1=3=45°

MNOB

∴∠2=3=45°

∴∠1=2=45°,

AM=PM

OM=OA﹣AM=1﹣AM,PN=MN﹣PM=1﹣PM

OM=PN

∵∠OPC=90°,

∴∠4+5=90°,

∵∠4+6=90°,

∴∠5=6

∴△OPM≌△PCN

(2)解:①點(diǎn)C在第一象限時(shí),

AM=PM=APsin45°=x

OM=PN=1x,

∵△OPM≌△PCN

CN=PM=x,

BC=OM﹣CN=1﹣x﹣x=1﹣x,

S=SPBC=BCPN=×(1﹣x)(1﹣x)=x2x+(0≤x<).

②如圖1,點(diǎn)C在第四象限時(shí),

AM=PM=APsin45°=x

OM=PN=1x,

∵△OPM≌△PCN

CN=PM=x,

BC=CN﹣OM=x﹣(1﹣x)=x﹣1,

S=SPBC=BCPN=×(1﹣x)(x﹣1)=x2x+<x<).

(3)解:PBC可能成為等腰三角形

①當(dāng)P與A重合時(shí),PC=BC=1,此時(shí)P(0,1)

②如圖,當(dāng)點(diǎn)C在第四象限,且PB=CB時(shí)

有BN=PN=1﹣x

BC=PB=PN=﹣x

NC=BN+BC=1x+﹣x

由(2)知:NC=PM=x

1x+﹣x=x

整理得(+1)x=+1

x=1

PM=x=,BN=1﹣x=1﹣,

P,1﹣

由題意可知PC=PB不成立

使PBC為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)或(,1﹣).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】問題原型:如圖,在等腰直角三角形ABC中,ACB=90°BC=a.將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連結(jié)CD.過點(diǎn)DBCDBC邊上的高DE, 易證ABC≌△BDE,從而得到BCD的面積為

初步探究:如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a.將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連結(jié)CD.用含a的代數(shù)式表示△BCD的面積,并說明理由.

簡(jiǎn)單應(yīng)用:如圖,在等腰三角形ABC中,AB=ACBC=a.將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連結(jié)CD.直接寫出△BCD的面積.(用含a的代數(shù)式表示)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC90°ADCD

1)求證:BD平分∠ABC;

2)如圖2,點(diǎn)EF分別在AB、BC上,連接EF,MEF的中點(diǎn),過MEF的垂線交BDP.求證:AE+CFPD;

3)如圖3,在(2)條件下,連AF,若AECF,∠DAF2AFE,AF13,BC12,(BCAB).求BD的長(zhǎng).

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【題目】已知:如圖1,矩形ABCD內(nèi)接于⊙O.⊙O的半徑為4,AB=4,將矩形ABCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到矩形A′B′C′D′,當(dāng)頂點(diǎn)A′、B′在劣弧弧AD上滑動(dòng),矩形ABCD與矩形A′B′C′D′交于點(diǎn)M,N,G,H.

(1)求AD;

(2)判斷四邊形MNGH的形狀,并說明理由;

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在四邊形MNGH的面積有最大值或最小值?如果存在,求出面積;如果不存在,試簡(jiǎn)要說明理由.

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【題目】已知,如圖,ABC 中,D BC 的中點(diǎn),AB5,AC3AD2

1)按要求畫圖:延長(zhǎng) AD 至點(diǎn) E,使 DEAD,連接 BE

2)求 BC 的長(zhǎng)度.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,ADABC的角平分線,DEAB于點(diǎn)EDFAC于點(diǎn)F,連接EFAD于點(diǎn)O(1)求證:AD垂直平分EF

(2)若∠BAC=,寫出DOAD之間的數(shù)量關(guān)系,不需證明.

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【題目】在做拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗(yàn)時(shí),下列說法正確的是__________

①不同次數(shù)的試驗(yàn),正面向上的頻率可能會(huì)不相同

②當(dāng)拋擲的次數(shù)很大時(shí),正面向上的次數(shù)一定為

③多次重復(fù)試驗(yàn)中,正面向上發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng),并趨于穩(wěn)定

④連續(xù)拋擲次硬幣都是正面向上,第次拋擲出現(xiàn)正面向上的概率小于

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【題目】如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖.為了提高傳送過程的安全性,工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角,使其由45°改為30°.已知原傳送帶AB長(zhǎng)為4米.

(1)求新傳送帶AC的長(zhǎng)度.

(2)如果需要在貨物著地點(diǎn)C的左側(cè)留出2米的通道,試判斷距離B點(diǎn)5米的貨物MNQP是否需要挪走,并說明理由.

參考數(shù)據(jù):

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,其中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度.

1)按要求作圖:

①畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形△A1B1C1

②畫出將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C2,

2)按照(1)中②作圖,回答下列問題:△A2B2C2中頂點(diǎn)A2坐標(biāo)為   ,B2的坐標(biāo)為   ,若Pa,b)為△ABC邊上一點(diǎn),則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為   

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