【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為矩形,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(12,0)、(12,6),直線y=﹣x+b與y軸交于點(diǎn)P,與邊OA交于點(diǎn)D,與邊BC交于點(diǎn)E.
(1)若直線y=﹣x+b平分矩形OABC的面積,求b的值;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)直線y=﹣x+b繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),與直線BC和x軸分別交于點(diǎn)N、M,問(wèn):是否存在ON平分∠CNM的情況?若存在,求線段DM的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(1)的條件下,將矩形OABC沿DE折疊,若點(diǎn)O落在邊BC上,求出該點(diǎn)坐標(biāo);若不在邊BC上,求將(1)中的直線沿y軸怎樣平移,使矩形OABC沿平移后的直線折疊,點(diǎn)O恰好落在邊BC上.
【答案】(1)b=12;(2)存在,DM=8﹣ 或DM=8+;(3)沿y軸向下平移個(gè)單位,使矩形OABC沿平移后的直線折疊,點(diǎn)O恰好落在邊BC上.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)直線y=﹣x+b平分矩形OABC的面積,知道其必過(guò)矩形的中心,然后求得矩形的中心坐標(biāo)為(6,3),代入解析式即可求得b值;(2)假設(shè)存在ON平分∠CNM的情況,分當(dāng)直線PM與邊BC和邊OA相交和當(dāng)直線PM與直線BC和x軸相交這兩種情況,求得DM的值就存在,否則就不存在;
(3)假設(shè)沿DE將矩形OABC折疊,點(diǎn)O落在邊BC上O′處,連接PO′、OO′,得到△OPO′為等邊三角形,從而得到∠OPD=30°,然后根據(jù)(2)知∠OPD>30°,得到沿DE將矩形OABC折疊,點(diǎn)O不可能落在邊BC上;若設(shè)沿直線y=﹣x+a將矩形OABC折疊,點(diǎn)O恰好落在邊BC上O′處,連接P′O′、OO′,則有P′O′=OP′=a,在Rt△OPD和Rt△OAO′中,利用正切的定義求得a值,即可得到將矩形OABC沿直線折疊,點(diǎn)O恰好落在邊BC上,于是得到問(wèn)題的答案.
試題解析:(1)∵直線y=﹣x+b平分矩形OABC的面積,∴其必過(guò)矩形的中心,由題意得矩形的中心坐標(biāo)為(6,3),∴3=﹣×6+b,解得b=12;(2)假設(shè)存在ON平分∠CNM的情況,①當(dāng)直線PM與邊BC和邊OA相交時(shí),過(guò)O作OH⊥PM于H,∵ON平分∠CNM,OC⊥BC,∴OH=OC=6,由(1)知OP=12,∴∠OPM=30°,∴OM=OPtan30°=,當(dāng)y=0時(shí),由﹣x+12=0解得x=8,∴OD=8,∴DM=8﹣;②如圖1,當(dāng)直線PM與直線BC和x軸相交時(shí),同上可得OM=,OD=8,∴DM=8+.所以存在ON平分∠CNM的情況,DM=8﹣ 或DM=8+;(3)如圖2假設(shè)沿DE將矩形OABC折疊,點(diǎn)O落在邊BC上O′處連接PO′、OO′,則有PO′=OP,又由(1)得BC垂直平分OP,∴PO′=OO′,∴△OPO′為等邊三角形,∴∠OPD=30°,而由(2)知∠OPD>30°,所以沿DE將矩形OABC折疊,點(diǎn)O不可能落在邊BC上;如圖3設(shè)沿直線y=﹣x+a將矩形OABC折疊,點(diǎn)O恰好落在邊BC上O′處,連接P′O′、OO′,則有P′O′=OP′=a,由題意得:CP′=a﹣6,∠OPD=∠CO′O,在Rt△OPD中,tan∠OPD=,在Rt△OCO′中,tan∠CO′O=,∴=,即=,解得CO′=9,在Rt△CP′O′中,由勾股定理得:(a﹣6)2+92=a2,解得a=,12﹣=,所以將直線y=﹣x+12沿y軸向下平移個(gè)單位得直線y=﹣x+,將矩形OABC沿直線y=﹣x+折疊,點(diǎn)O恰好落在邊BC上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形OABC中,BC∥AO,∠AOC=90°,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(5,0),(2,6),點(diǎn)D為AB上一點(diǎn),且BD=2AD,雙曲線y=(k>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.(1)、求雙曲線的解析式;(2)、求四邊形ODBE的面積.
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【題目】某文化用品商店用2000元購(gòu)進(jìn)一批小學(xué)生書(shū)包,面市后發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求,商店又購(gòu)進(jìn)第二批同樣的書(shū)包,所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)數(shù)量的3倍,但單價(jià)貴了2元,結(jié)果第二批用了6600元.若商店銷售這兩批書(shū)包時(shí),每個(gè)售價(jià)都是30元,全部售出后,商店共盈利多少元?
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【題目】口袋內(nèi)裝有除顏色外完全相同的紅球、白球和黑球共10個(gè),從中摸出一球,摸出紅球的概率是0.2,摸出白球的概率是0.5,那么黑球的個(gè)數(shù)是_____個(gè).
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,BE,CE分別平分∠ABC,∠BCD,且點(diǎn)E在AD上.求證:BC=AB+CD.
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【題目】下列運(yùn)算中正確的是( )
A.a5+a5=a10B.a7÷a=a6C.a3a2=a6D.(﹣a3)2=﹣a6
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【題目】實(shí)數(shù)0是( )
A.有理數(shù)
B.無(wú)理數(shù)
C.正數(shù)
D.負(fù)數(shù)
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【題目】某農(nóng)戶去年承包荒山若干畝,投資7800 元改造后,種果樹(shù)2000棵.今年水果總產(chǎn)量為18000千克,此水果在市場(chǎng)上每千克售a元,在果園每千克售b元(b<a).該農(nóng)戶將水果拉到市場(chǎng)出售平均每天出售1000千克,需8 人幫忙,每人每天付工資25元,農(nóng)用車運(yùn)費(fèi)及其他各項(xiàng)稅費(fèi)平均每天100元.
(1)分別用a,b表示兩種方式出售水果的收入?
(2)若a=1.3元,b=1.1元,且兩種出售水果方式都在相同的時(shí)間內(nèi)售完全部水果,請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明選擇哪種出售方式較好.
(3)該農(nóng)戶加強(qiáng)果園管理,力爭(zhēng)到明年純收入達(dá)到15000元,那么純收入增長(zhǎng)率是多少?(純收入=總收入﹣總支出,該農(nóng)戶采用了(2)中較好的出售方式出售)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(a-1,a+b),B(a,0),且(a+b-3)2+|a-2b|=0,C為x軸上點(diǎn)B右側(cè)的動(dòng)點(diǎn),以AC為腰作等腰三角形ACD,使AD=AC,∠CAD=∠OAB,直線DB交y軸于點(diǎn)P.
(1)線段AO與線段AB的數(shù)量關(guān)系是______(填“>”、“≥”、“≤”、“<”或“=”);
(2)求證:△AOC≌△ABD;
(3)若∠CAD=30,當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P在y軸上的位置是否發(fā)生改變,為什么?
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