Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），直線x=2與x軸相交于點(diǎn)B，連結(jié)OA，二次函數(shù)y=x²圖象從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線x=2交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)．
（1）求線段OA所在直線的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)二次函數(shù)頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，線段PB最短，并求出二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）當(dāng)線段PB最短時(shí)，二次函數(shù)的圖象是否過(guò)點(diǎn)Q（a，a-1），并說(shuō)理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；
（2）根據(jù)題意得到頂點(diǎn)M（m，2m），根據(jù)平移的性質(zhì)和頂點(diǎn)坐標(biāo)得到拋物線的解析式為y=（x-m）²+2m，把x=2代入解析式求得P的縱坐標(biāo)，即可求得PB=m²-2m+4=（m-1）²+3（0≤m≤2），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出當(dāng)m=1時(shí)，PB最短，即可求得當(dāng)PB最短時(shí)，拋物線的解析式為y=（x-1）²+2；
（3）若二次函數(shù)的圖象是過(guò)點(diǎn)Q（a，a-1），代入解析式得到方程a-1=（a-1）²+2，由于△＜0，此方程無(wú)解，說(shuō)明此二次函數(shù)的圖象不過(guò)點(diǎn)Q．

解答 解：（1）設(shè)直線OA的解析式為y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，解得k=2，
∴線段OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x；
（2）∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在OA上移動(dòng)，
∴y=2m（0≤m≤2），
∴M（m，2m），
∴拋物線的解析式為y=（x-m）²+2m，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2），
∴PB=m²-2m+4=（m-1）²+3（0≤m≤2），
∴當(dāng)m=1時(shí)，PB最短，
當(dāng)PB最短時(shí)，拋物線的解析式為y=（x-1）²+2；
（3）若二次函數(shù)的圖象是過(guò)點(diǎn)Q（a，a-1）
則方程a-1=（a-1）²+2有解．
即方程a²-3a+4=0有解，
∵△=（-3）²-4×1×4=-7＜0．
∴二次函數(shù)的圖象不過(guò)點(diǎn)Q．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，一元二次方程的解以及二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．