Question

在一次數學活動課上，兩個同學利用計算機軟件探索函數問題，下面是他們交流片斷：
圖1：小韓：若直線x=m（m＞0）分別交x軸，直線y=x和y=2x于點P、M、N時，有

MN

PM

=1．
圖2：小蘇：若直線x=m（m＞0）分別交x軸，直線y=

2

x

（x＞0）和y=

3

x

（x＞0）于點P、M、N時，有

MN

PM

=…
問題解決

（1）填空：圖2中，小蘇發(fā)現的

MN

PM

=

 

；
（2）若記圖1，圖2中MN為d₁，d₂，分別求出d₁，d₂與m之間的函數關系式．并指出函數的增減性；
（3）如圖3，直線x=m（m＞0）分別交x軸，拋物線y=x²-4x和y=x²-3x于點P，M，N，設A，B為拋物線y=x²-4x，y=x²-3x與x軸的非原點交點．當m為何值時，線段OP，PM，PN，MN中有三條能圍成等邊三角形？并直接寫出此時點A，B，M，N圍成的圖形的面積．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：綜合題

分析：（1）把當x=m分別代入反比例函數的解析式，求出M點的縱坐標和N點的縱坐標，進而求出MN的長，則

MN

PM

值可求出；
（2）當x=m時，則M點的縱坐標為m，N點的縱坐標為2m，進而求出MN的長，d₁可求，同理可求出d₂，利用反比例函數的增減性即可做出判斷；
（3）由函數的解析式分別求出PM，PN，MN的長，根據等邊三角形的性質：三邊相等即可求出m的值，利用梯形的性質即可求出其面積．

解答：解：（1）當x=m時，
則M點的縱坐標為

2

m

，N點的縱坐標為

3

m

，
所以MN=

3

m

-

2

m

=

1

m

，
∴

MN

PM

=

1

2

，
故答案為：

1

2

；
（2）當x=m時，則M點的縱坐標為m，N點的縱坐標為2m，
∴MN=2m-m=m，
即d₁=m，
當x=m時，則M點的縱坐標為

2

m

，N點的縱坐標為

3

m

，
∴MN=

3

m

-

2

m

=

1

m

，
∴d₂=

1

m

，
∵m＞0，
∴函數d₂為m為減函數；
（3）∵OP=m，PM=|4m-m²|=m|4-m|，PN=|3m-m²|=m|3-m|，MN=|m|，
由題意，得m|4-m|=m或m|3-m|=m，
解得m=5，或m=3（不合題意），或m=4（不合題意），或m=2，
當m=2時，S=3；當m=5時，S=7.5．

點評：本題考查了一次函數、反比例函數、二次函數的各種性質以及等邊三角形的性質和梯形的面積公式的，題目的綜合性較強，對學生的解題能力要求很高．