(2013•響水縣一模)探究與發(fā)現(xiàn):
探究一:我們知道,三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.那么,三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢?

已知:如圖1,∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個(gè)外角,試探究∠A與∠FDC+∠ECD的數(shù)量關(guān)系.
探究二:三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系?
已知:如圖2,在△ADC中,DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD,試探究∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系.
探究三:若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢?
已知:如圖3,在四邊形ABCD中,DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD,試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系.
探究四:若將上題中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF(圖4)呢?
請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數(shù)量關(guān)系:
∠P=
1
2
(∠A+∠B+∠E+∠F)-180°
∠P=
1
2
(∠A+∠B+∠E+∠F)-180°
分析:探究一:根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD,∠ECD=∠A+∠ADC,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理整理即可得解;
探究二:根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC=
1
2
∠ADC,∠PCD=
1
2
∠ACD,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解;
探究三:根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠ADC+∠BCD,然后同理探究二解答即可;
探究四:根據(jù)六邊形的內(nèi)角和公式表示出∠ADC+∠BCD,然后同理探究二解答即可.
解答:解:探究一:∵∠FDC=∠A+∠ACD,∠ECD=∠A+∠ADC,
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A;

探究二:∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD,
∴∠PDC=
1
2
∠ADC,∠PCD=
1
2
∠ACD,
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD,
=180°-
1
2
∠ADC-
1
2
∠ACD,
=180°-
1
2
(∠ADC+∠ACD),
=180°-
1
2
(180°-∠A),
=90°+
1
2
∠A;

探究三:∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD,
∴∠PDC=
1
2
∠ADC,∠PCD=
1
2
∠BCD,
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD,
=180°-
1
2
∠ADC-
1
2
∠BCD,
=180°-
1
2
(∠ADC+∠BCD),
=180°-
1
2
(360°-∠A-∠B),
=
1
2
(∠A+∠B);

探究四:六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為:(6-2)•180°=720°,
∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD,
∴∠P=
1
2
∠ADC,∠PCD=
1
2
∠ACD,
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD,
=180°-
1
2
∠ADC-
1
2
∠ACD,
=180°-
1
2
(∠ADC+∠ACD),
=180°-
1
2
(720°-∠A-∠B-∠E-∠F),
=
1
2
(∠A+∠B+∠E+∠F)-180°,
即∠P=
1
2
(∠A+∠B+∠E+∠F)-180°.
點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形的外角性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,多邊形的內(nèi)角和公式,此類題目根據(jù)同一個(gè)解答思路求解是解題的關(guān)鍵.
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5
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