【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(5,0)兩點(diǎn),直線y=﹣ x+3與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D.點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F,交直線CD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若PE=5EF,求m的值;
(3)若點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)E′落在y軸上?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式,得:
,解得 ,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+4x+5
(2)
解:∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,
∴P(m,﹣m2+4m+5),E(m,﹣ m+3),F(xiàn)(m,0).
∴PE=|yP﹣yE|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣ m+3)|=|﹣m2+ m+2|,
EF=|yE﹣yF|=|(﹣ m+3)﹣0|=|﹣ m+3|.
由題意,PE=5EF,即:|﹣m2+ m+2|=5|﹣ m+3|=| m+15|
①若﹣m2+ m+2= m+15,整理得:2m2﹣17m+26=0,
解得:m=2或m= ;
②若﹣m2+ m+2=﹣( m+15),整理得:m2﹣m﹣17=0,
解得:m= 或m= .
由題意,m的取值范圍為:﹣1<m<5,故m= 、m= 這兩個(gè)解均舍去.
∴m=2或m=
(3)
解:假設(shè)存在.
作出示意圖如下:
∵點(diǎn)E、E′關(guān)于直線PC對(duì)稱(chēng),
∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.
∵PE平行于y軸,∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,∴PE=CE,
∴PE=CE=PE′=CE′,即四邊形PECE′是菱形.
當(dāng)四邊形PECE′是菱形存在時(shí),
由直線CD解析式y(tǒng)=﹣ x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.
過(guò)點(diǎn)E作EM∥x軸,交y軸于點(diǎn)M,易得△CEM∽△CDO,
∴ ,即 ,解得CE= |m|,
∴PE=CE= |m|,又由(2)可知:PE=|﹣m2+ m+2|
∴|﹣m2+ m+2|= |m|.
①若﹣m2+ m+2= m,整理得:2m2﹣7m﹣4=0,解得m=4或m=﹣ ;
②若﹣m2+ m+2=﹣ m,整理得:m2﹣6m﹣2=0,解得m1=3+ ,m2=3﹣ .
由題意,m的取值范圍為:﹣1<m<5,故m=3+ 這個(gè)解舍去.
當(dāng)四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時(shí),
此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為0,E,C,E'三點(diǎn)重合與y軸上,也符合題意,
∴P(0,5)
綜上所述,存在滿足條件的點(diǎn)P,可求得點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,5),(﹣ , ),(4,5),(3﹣ ,2 ﹣3)
方法二:
若E(不與C重合時(shí))關(guān)于直線PC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′在y軸上,則直線CD與直線CE′關(guān)于PC軸對(duì)稱(chēng).
∴點(diǎn)D關(guān)于直線PC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′也在y軸上,
∴DD′⊥CP,∵y=﹣ x+3,
∴D(4,0),CD=5,
∵OC=3,
∴OD′=8或OD′=2,
①當(dāng)OD′=8時(shí),D′(0,8),設(shè)P(t,﹣t2+4t+5),D(4,0),C(0,3),
∵PC⊥DD′,∴KPC×KDD′=﹣1,
∴ ,
∴2t2﹣7t﹣4=0,
∴t1=4,t2=﹣ ,
②當(dāng)OD′=2時(shí),D′(0,﹣2),
設(shè)P(t,﹣t2+4t+5),
∵PC⊥DD′,∴KPC×KDD′=﹣1,
∴ =﹣1,
∴t1=3+ ,t2=3﹣ ,
∵點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),
∴﹣1<t<5,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣ , ),(4,5),(3﹣ ,2 ﹣3).
若點(diǎn)E與C重合時(shí),P(0,5)也符合題意.
綜上所述,存在滿足條件的點(diǎn)P,可求得點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,5),(﹣ , ),(4,5),(3﹣ ,2 ﹣3)
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(2)用含m的代數(shù)式分別表示出PE、EF,然后列方程求解;(3)解題關(guān)鍵是識(shí)別出當(dāng)四邊形PECE′是菱形,然后根據(jù)PE=CE的條件,列出方程求解;當(dāng)四邊形PECE′是菱形不存在時(shí),P點(diǎn)y軸上,即可得到點(diǎn)P坐標(biāo).
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【題目】如圖,在□ABCD中,以點(diǎn)A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AD于點(diǎn)F,再分別以點(diǎn)B、F為圓心,以大于BF的相同長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P;連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,連接EF,得四邊形ABEF.
求證:四邊形ABEF是菱形.
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【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)F,E分別以相同的速度從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向C和B運(yùn)動(dòng)(任何一個(gè)點(diǎn)到達(dá)即停止),過(guò)點(diǎn)P作PM∥CD交BC于M點(diǎn),PN∥BC交CD于N點(diǎn),連接MN,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,則下列結(jié)論:
①△ABE≌△BCF;②AE=BF;③AE⊥BF;④CF2=PEBF;⑤線段MN的最小值為 .
其中正確的結(jié)論有( )
A.2個(gè)
B.3個(gè)
C.4個(gè)
D.5個(gè)
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【題目】如圖,兩個(gè)不同的一次函數(shù)y=ax+b與y=bx+a的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置可能是( )
A. A B. B C. C D. D
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【題目】如圖,已知函數(shù)y=-x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,與函數(shù)y=x的圖象交于點(diǎn)E,點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)在x軸上有一點(diǎn)F(a,0),過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線,分別交函數(shù)y=-x+b和y=x的圖象于點(diǎn)C、D,若以點(diǎn)B、O、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,求a的值.
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【題目】(慶陽(yáng)中考)現(xiàn)在的青少年由于沉迷電視、手機(jī)、網(wǎng)絡(luò)游戲等,視力日漸減退,某市為了了解學(xué)生的視力變化情況,從全市九年級(jí)隨機(jī)抽取了1 500名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)了每個(gè)人連續(xù)三年視力檢查的結(jié)果,根據(jù)視力在4.9以下的人數(shù)變化制成折線統(tǒng)計(jì)圖,并對(duì)視力下降的主要因素進(jìn)行調(diào)查,制成扇形統(tǒng)計(jì)圖.
解答下列問(wèn)題:
(1)圖中D所在扇形的圓心角度數(shù)為______;
(2)若2016年全市共有30 000名九年級(jí)學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)視力在4.9以下的學(xué)生約有多少名?
(3)根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖信息,你覺(jué)得中學(xué)生應(yīng)該如何保護(hù)視力?
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+2x+3與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.
(1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)求△OCD的面積.
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(1)求公益廣告牌的高度AB;
(2)求加固鋼纜AD和BD的長(zhǎng).(注意:本題中的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果均保留根號(hào))
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