【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0),B(5,0)兩點,直線y=﹣ x+3與y軸交于點C,與x軸交于點D.點P是x軸上方的拋物線上一動點,過點P作PF⊥x軸于點F,交直線CD于點E.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.

(1)求拋物線的解析式;
(2)若PE=5EF,求m的值;
(3)若點E′是點E關(guān)于直線PC的對稱點,是否存在點P,使點E′落在y軸上?若存在,請直接寫出相應(yīng)的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:將點A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式,得:

,解得

∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+4x+5


(2)

解:∵點P的橫坐標(biāo)為m,

∴P(m,﹣m2+4m+5),E(m,﹣ m+3),F(xiàn)(m,0).

∴PE=|yP﹣yE|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣ m+3)|=|﹣m2+ m+2|,

EF=|yE﹣yF|=|(﹣ m+3)﹣0|=|﹣ m+3|.

由題意,PE=5EF,即:|﹣m2+ m+2|=5|﹣ m+3|=| m+15|

①若﹣m2+ m+2= m+15,整理得:2m2﹣17m+26=0,

解得:m=2或m= ;

②若﹣m2+ m+2=﹣( m+15),整理得:m2﹣m﹣17=0,

解得:m= 或m=

由題意,m的取值范圍為:﹣1<m<5,故m= 、m= 這兩個解均舍去.

∴m=2或m=


(3)

解:假設(shè)存在.

作出示意圖如下:

∵點E、E′關(guān)于直線PC對稱,

∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.

∵PE平行于y軸,∴∠1=∠3,

∴∠2=∠3,∴PE=CE,

∴PE=CE=PE′=CE′,即四邊形PECE′是菱形.

當(dāng)四邊形PECE′是菱形存在時,

由直線CD解析式y(tǒng)=﹣ x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.

過點E作EM∥x軸,交y軸于點M,易得△CEM∽△CDO,

,即 ,解得CE= |m|,

∴PE=CE= |m|,又由(2)可知:PE=|﹣m2+ m+2|

∴|﹣m2+ m+2|= |m|.

①若﹣m2+ m+2= m,整理得:2m2﹣7m﹣4=0,解得m=4或m=﹣ ;

②若﹣m2+ m+2=﹣ m,整理得:m2﹣6m﹣2=0,解得m1=3+ ,m2=3﹣

由題意,m的取值范圍為:﹣1<m<5,故m=3+ 這個解舍去.

當(dāng)四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時,

此時P點橫坐標(biāo)為0,E,C,E'三點重合與y軸上,也符合題意,

∴P(0,5)

綜上所述,存在滿足條件的點P,可求得點P坐標(biāo)為(0,5),(﹣ , ),(4,5),(3﹣ ,2 ﹣3)

方法二:

若E(不與C重合時)關(guān)于直線PC的對稱點E′在y軸上,則直線CD與直線CE′關(guān)于PC軸對稱.

∴點D關(guān)于直線PC的對稱點D′也在y軸上,

∴DD′⊥CP,∵y=﹣ x+3,

∴D(4,0),CD=5,

∵OC=3,

∴OD′=8或OD′=2,

①當(dāng)OD′=8時,D′(0,8),設(shè)P(t,﹣t2+4t+5),D(4,0),C(0,3),

∵PC⊥DD′,∴KPC×KDD=﹣1,

,

∴2t2﹣7t﹣4=0,

∴t1=4,t2=﹣

②當(dāng)OD′=2時,D′(0,﹣2),

設(shè)P(t,﹣t2+4t+5),

∵PC⊥DD′,∴KPC×KDD=﹣1,

=﹣1,

∴t1=3+ ,t2=3﹣ ,

∵點P是x軸上方的拋物線上一動點,

∴﹣1<t<5,

∴點P的坐標(biāo)為(﹣ , ),(4,5),(3﹣ ,2 ﹣3).

若點E與C重合時,P(0,5)也符合題意.

綜上所述,存在滿足條件的點P,可求得點P坐標(biāo)為(0,5),(﹣ ),(4,5),(3﹣ ,2 ﹣3)


【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(2)用含m的代數(shù)式分別表示出PE、EF,然后列方程求解;(3)解題關(guān)鍵是識別出當(dāng)四邊形PECE′是菱形,然后根據(jù)PE=CE的條件,列出方程求解;當(dāng)四邊形PECE′是菱形不存在時,P點y軸上,即可得到點P坐標(biāo).

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①△ABE≌△BCF;②AE=BF;③AE⊥BF;④CF2=PEBF;⑤線段MN的最小值為
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