Question

【題目】綜合與實踐

問題情境

數(shù)學(xué)課上，李老師提出了這樣一個問題：如圖1，點是正方形內(nèi)一點，，，.你能求出的度數(shù)嗎？

(1)小敏與同桌小聰通過觀察、思考、討論后，得出了如下思路：

思路一：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，求出的度數(shù).

思路二：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，求出的度數(shù).

請參考以上思路，任選一種寫出完整的解答過程.

類比探究

(2)如圖2，若點是正方形外一點，，，，求的度數(shù).

拓展應(yīng)用

(3)如圖3，在邊長為的等邊三角形內(nèi)有一點，，，則的面積是______.

Answer 1

【答案】(1)∠APB=135°，(2)∠APB=45°；(3).

【解析】

（1）思路一、先利用旋轉(zhuǎn)求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，進而判斷出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出結(jié)論；
思路二、同思路一的方法即可得出結(jié)論；

（2）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，然后同（1）的思路一的方法即可得出結(jié)論；

（3）可先將△APB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP'C，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，角的計算可得到△APP'是等邊三角形，再根據(jù)勾股定理，得到AP的長，最后根據(jù)三角形面積得到所求．

解：(1)思路一，如圖1，

將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，

則≌，，

，，

∴，

根據(jù)勾股定理得，，

∵，

∴.

又∵，

∴，

∴是直角三角形，且，

∴；

思路二、同思路一的方法.

(2)如圖2，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，

則≌，，，，

∴，

根據(jù)勾股定理得，.

∵，

∴.

又∵，

∴，

∴是直角三角形，且，

∴；

（3）如圖3，將△APB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP'C，

∴∠AP'C＝∠APB＝360°-90°-120°＝150°．

∵AP＝AP'，

∴△APP'是等邊三角形，

∴PP'＝AP，∠AP'P＝∠APP'＝60°，

∴∠PP'C＝90°，∠P'PC＝30°，

∴，即．

∵APC＝90°，

∴AP2＋PC2＝AC2，且，

∴PC＝2，

∴，

∴．