【題目】已知拋物線l:y=ax2+bx+c(a,b,c均不為0)的頂點為M,與y軸的交點為N,我們稱以N為頂點,對稱軸是y軸且過點M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線,直線MN為拋物線l的衍生直線.
(1)如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3的衍生拋物線的解析式是 , 衍生直線的解析式是;
(2)若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1,求這條拋物線的解析式;
(3)如圖,設(1)中的拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點為M,與y軸交點為N,將它的衍生直線MN先繞點N旋轉到與x軸平行,再沿y軸向上平移1個單位得直線n,P是直線n上的動點,是否存在點P,使△POM為直角三角形?若存在,求出所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)y=﹣x2﹣3;y=﹣x﹣3
(2)
解:∵衍生拋物線和衍生直線兩交點分別為原拋物線與衍生拋物線的頂點,
∴將y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1聯立,得 ,
解得 或 ,
∵衍生拋物線y=﹣2x2+1的頂點為(0,1),
∴原拋物線的頂點為(1,﹣1).
設原拋物線為y=a(x﹣1)2﹣1,
∵y=a(x﹣1)2﹣1過(0,1),
∴1=a(0﹣1)2﹣1,
解得 a=2,
∴原拋物線為y=2x2﹣4x+1.
(3)
解:∵N(0,﹣3),
∴MN繞點N旋轉到與x軸平行后,解析式為y=﹣3,
∴再沿y軸向上平移1個單位得的直線n解析式為y=﹣2.
設點P坐標為(x,﹣2),
∵O(0,0),M(1,﹣4),
∴OM2=(xM﹣xO)2+(yO﹣yM)2=1+16=17,
OP2=(|xP﹣xO|)2+(yO﹣yP)2=x2+4,
MP2=(|xP﹣xM|)2+(yP﹣yM)2=(x﹣1)2+4=x2﹣2x+5.
①當OM2=OP2+MP2時,有17=x2+4+x2﹣2x+5,
解得x= 或x= ,即P( ,﹣2)或P( ,﹣2).
②當OP2=OM2+MP2時,有x2+4=17+x2﹣2x+5,
解得 x=9,即P(9,﹣2).
③當MP2=OP2+OM2時,有x2﹣2x+5=x2+4+17,
解得 x=﹣8,即P(﹣8,﹣2).
綜上所述,當P為( ,﹣2)或( ,﹣2)或(9,﹣2)或(﹣8,﹣2)時,△POM為直角三角形.
【解析】解:(1)∵拋物線y=x2﹣2x﹣3過(0,﹣3),
∴設其衍生拋物線為y=ax2﹣3,
∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=(x﹣1)2﹣4,
∴衍生拋物線為y=ax2﹣3過拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點(1,﹣4),
∴﹣4=a1﹣3,
解得 a=﹣1,
∴衍生拋物線為y=﹣x2﹣3.
設衍生直線為y=kx+b,
∵y=kx+b過(0,﹣3),(1,﹣4),
∴ ,
∴ ,
∴衍生直線為y=﹣x﹣3.
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知二次函數圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,∠BCD=120°,BC=2,AD=DC.P為四邊形ABCD邊上的任意一點,當∠BPC=30°時,CP的長為 .
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【題目】回答下列問題:
(1)如圖所示的甲、乙兩個平面圖形能折什么幾何體?
(2)由多個平面圍成的幾何體叫做多面體.若一個多面體的面數為f,頂點個數為v,棱數為e,分別計算第(1)題中兩個多面體的f+v﹣e的值?你發(fā)現什么規(guī)律?
(3)應用上述規(guī)律解決問題:一個多面體的頂點數比面數大8,且有50條棱,求這個幾何體的面數.
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【題目】在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面積.
某學習小組經過合作交流,給出了下面的解題思路,請你按照他們的解題思路完成解答過程.
思路:(1) 作AD⊥BC于D,設BD = x,用含x的代數式表示CD;(2)根據勾股定理,利用AD作為“橋梁”,建立方程模型,求出x;(3)利用勾股定理求出AD的長,再計算三角形面積.
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【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90,AC=BC=4,D為AB的中點,E,F分別是AC, BC上的點(點E不與端點A,C重合),且AE=CF,連接EF并取EF的中點O,連接DO并延長至點G,使GO=OD.連接DE, GE, GF.
(1)求證:四邊形EDFG是正方形;
(2)直接寫出四邊形EDFG面積的最小值和E點所在的位置.
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【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,M,N分別是邊AD,BC的中點,E,F分別是線段BM,CM的中點.
(1)求證:△ABM≌△DCM;
(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形,并證明你的結論;
(3)當AD∶AB=__________時,四邊形MENF是正方形(只寫結論,不需證明).
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【題目】某校為了解本校九年級男生“引體向上”項目的訓練情況,隨機抽取該年級部分男生進行了一次測試(滿分15分,成績均記為整數分),并按測試成績(單位:分)分成四類:A類(12≤m≤15),B類(9≤m≤11),C類(6≤m≤8),D類(m≤5)繪制出以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據圖中信息解答下列問題:
(1)本次抽取樣本容量為 , 扇形統(tǒng)計圖中A類所對的圓心角是度;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校九年級男生有600名,請估計該校九年級男生“引體向上”項目成績?yōu)镃類的有多少名?
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分別為E,F,BE=DF,AE=CF.
(1)求證:△AFD≌△CEB;
(2)若∠CBE=∠BAC,四邊形ABCD是怎樣的四邊形?證明你的結論.
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