【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90,AC=BC=4DAB的中點(diǎn),E,F分別是AC, BC上的點(diǎn)(點(diǎn)E不與端點(diǎn)A,C重合),且AE=CF,連接EF并取EF的中點(diǎn)O,連接DO并延長(zhǎng)至點(diǎn)G,使GO=OD.連接DE, GE, GF.

(1)求證:四邊形EDFG是正方形;

(2)直接寫出四邊形EDFG面積的最小值和E點(diǎn)所在的位置.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)四邊形EDFG的最小值是4,此時(shí),E為線段AC的中點(diǎn)

【解析】分析:1)連接CD根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠A=DCF=45°、AD=CD,結(jié)合AE=CF可證出△ADE≌△CDFSAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DE=DFADE=CDF通過(guò)角的計(jì)算可得出∠EDF=90°,再根據(jù)OEF的中點(diǎn)、GO=OD即可得出GDEFGD=2OD=EF,由此即可證出四邊形EDFG是正方形;

2)過(guò)點(diǎn)DDEACE′,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出DE的長(zhǎng)度,從而得出2DE2,再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值.

詳解:(1)連接CD,如圖1所示.

∵△ABC為等腰直角三角形,ACB=90°,DAB的中點(diǎn),∴∠A=DCF=45°,AD=CD

在△ADE和△CDF中,∵,∴△ADE≌△CDFSAS),DE=DF,ADE=CDF

∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠EDC+∠CDF=EDF=90°,∴△EDF為等腰直角三角形.

OEF的中點(diǎn)GO=OD,GDEF,GD=2OD=EF∴四邊形EDFG是正方形;

2)過(guò)點(diǎn)DDEACE′,如圖2所示.

∵△ABC為等腰直角三角形,ACB=90°,AC=BC=4,DE′=BC=2,AB=4點(diǎn)EAC的中點(diǎn),2DE2(點(diǎn)E與點(diǎn)E重合時(shí)取等號(hào)),4S四邊形EDFG=DE28,∴當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形EDFG的面積最小該最小值為4

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1)如圖1,若P在線段AB上運(yùn)動(dòng),Q在線段CA上運(yùn)動(dòng),試求出t為何值時(shí),QAAP

2)如圖2,點(diǎn)QCA上運(yùn)動(dòng),試求出t為何值時(shí),三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的;

3)如圖3,當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí),P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng),試求當(dāng)t為何值時(shí),線段AQ的長(zhǎng)度等于線段BP的長(zhǎng)的

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(1)弦長(zhǎng)AB等于(結(jié)果保留根號(hào));
(2)當(dāng)∠D=20°時(shí),求∠BOD的度數(shù);
(3)當(dāng)AC的長(zhǎng)度為多少時(shí),以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、0為頂點(diǎn)的三角形相似?請(qǐng)寫出解答過(guò)程.

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