Question

【題目】如圖，拋物線交軸于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求此拋物線的表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)．試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

(3)過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．請用含的代數(shù)式表示線段的長，并求出當(dāng)為何值時(shí)有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 存在，或；；(3) 當(dāng)時(shí)，的最大值為：．

【解析】

(1)由二次函數(shù)交點(diǎn)式表達(dá)式，即可求解；

(2)分三種情況，分別求解即可；

(3)由即可求解．

解：(1)由二次函數(shù)交點(diǎn)式表達(dá)式得：，

即：，解得：，

則拋物線的表達(dá)式為；

(2)存在，理由：

點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

則，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：并解得：…①，

同理可得直線AC的表達(dá)式為：，

設(shè)直線的中點(diǎn)為，過點(diǎn)與垂直直線的表達(dá)式中的值為，

同理可得過點(diǎn)與直線垂直直線的表達(dá)式為：…②，

①當(dāng)時(shí)，如圖1，

則，

設(shè)：，則，

由勾股定理得：，解得：或4(舍去4)，

故點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，如圖1，

，則，

則，

故點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，

聯(lián)立①②并解得：(舍去)；

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：或；

(3)設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，

∵，

∴，

，

∵，

∴有最大值，

當(dāng)時(shí)，的最大值為：．