Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）與y軸交于點(diǎn)C，拋物線G的頂點(diǎn)為D，直線：y＝mx+m﹣1（m≠0）．

（1）當(dāng)m＝1時(shí)，畫(huà)出直線和拋物線G，并直接寫(xiě)出直線被拋物線G截得的線段長(zhǎng)．

（2）隨著m取值的變化，判斷點(diǎn)C，D是否都在直線上并說(shuō)明理由．

（3）若直線被拋物線G截得的線段長(zhǎng)不小于2，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫(xiě)出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）無(wú)論m取何值，點(diǎn)C，D都在直線上，見(jiàn)解析；（3）m的取值范圍是m≤﹣或m≥．

【解析】

（1）當(dāng)m＝1時(shí)，拋物線G的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2+2x，直線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x，求出直線被拋物線G截得的線段，再畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象即可；

（2）先求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入直線的解析式進(jìn)行檢驗(yàn)即可；

（3）先聯(lián)立直線與拋物線的解析式，求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離不小于2列出不等式，求解即可．

（1）當(dāng)m=1時(shí)，拋物線G的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+2x，直線的函數(shù)表達(dá)式為y=x，
直線被拋物線G截得的線段長(zhǎng)為，
畫(huà)出的兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示：


（2）無(wú)論m取何值，點(diǎn)C，D都在直線上．理由如下：
∵拋物線G：y=mx2+2mx+m-1（m≠0）與y軸交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，m-1），
∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，
∴拋物線G的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-1），
對(duì)于直線：y=mx+m-1（m≠0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=m-1，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=m×（-1）+m-1=-1，
∴無(wú)論m取何值，點(diǎn)C，D都在直線上；
（3）解方程組，
得 ，或，
∴直線與拋物線G的交點(diǎn)為（0，m-1），（-1，-1）．
∵直線被拋物線G截得的線段長(zhǎng)不小于2，
∴≥2，
∴1+m2≥4，m2≥3，
∴m≤-或m≥
，
∴m的取值范圍是m≤-或m≥．