Question

12．如圖，在矩形ABCD中，點E在AD上，且EC平分∠BED．
（1）△BEC是否為等腰三角形？證明你的結(jié)論；
（2）若AB=2，∠DCE=22.5°，求BC長．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠DEC=∠ECB=∠BEC，推出BE=BC即可；
（2）證出AE=AB=2，根據(jù)勾股定理求出BE，即可得出BC的長．

解答 解：（1）△BEC是等腰三角形；理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BE=BC，即△BEC是等腰三角形．
（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠DCE=22.5°，
∴∠DEB=2×（90°-22.5°）=135°，
∴∠AEB=180°-∠DEB=45°，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AE=AB=2，
由勾股定理得：BC=BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
答：BC的長是2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理的應用；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證出∠BEC=∠ECB是解決問題的關鍵．