Question

9．如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定線上各點(diǎn)不屬于任何部分．
（1）如圖（1），當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，直接寫出∠PAC、∠APB、∠PBD三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是∠PAC+∠APB+∠PBD=360°
（1）如圖（2），當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，直接寫出∠PAC、∠APB、∠PBD三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是∠PAC+∠PBD=∠APB
（3）如圖（3），當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③部分時(shí)，直接寫出∠PAC、∠APB、∠PBD三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是∠PAC=∠APB+∠PBD
（4）選擇以上一種結(jié)論加以證明．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)P作PE∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)P作PE∥AC，根據(jù)AC∥PE可得出∠APE=∠CAP，再由PE∥BD可得出∠EPB=∠PBD，故可得出結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)BA，由三角形外角的性質(zhì)可得出∠PBD=∠PBA+∠ABD，∠PAC=∠PAF+∠CAF，再由平行線的性質(zhì)得出∠ABD=∠CAF，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（4）證明（1）即可．

解答 解：（1）如圖（1），過點(diǎn)P作PE∥AC，則∠PAC+∠APE=180°．
∵AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠BPE+∠PBD=180°，
∴∠PAC+∠APB+∠PBD=360°．
故答案為：∠PAC+∠APB+∠PBD=360°；

（2）如圖（2），過點(diǎn)P作PE∥AC，則∠APE=∠CAP，
∵AC∥BD，PE∥AC，
∴PE∥BD，
∴∠EPB=∠PBD，
∴∠PAC+∠PBD=∠APB．
故答案為：∠PAC+∠PBD=∠APB；

（3）如圖（3），延長(zhǎng)BA，則∠PBD=∠PBA+∠ABD，∠PAC=∠PAF+∠CAF，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CAF，
∴∠PAC-∠PBD=∠PAF-∠PBA，
而∠PBA+∠APB=∠PAF，
∴∠APB=∠PAC-∠PBD，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．
故答案為：∠PAC=∠APB+∠PBD；

（4）例如（1），過點(diǎn)P作PE∥AC，則∠PAC+∠APE=180°．
∵AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠BPE+∠PBD=180°，
∴∠PAC+∠APB+∠PBD=360°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線，利用平行線的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．