Question

【題目】拋物線y=x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A．B，與y軸交于點(diǎn)C，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線解析式；

（2）若點(diǎn)M在拋物線的對稱軸上，求△ACM周長的最小值；

（3）以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且與直線CD相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）△ACM周長的最小值為3+；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4+2）或（1，4-2）．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式；

（2）連接BC，交拋物線對稱軸于點(diǎn)M，此時AM+CM取得最小值，最小值為BC的長度，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，代入x=1即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出BC，AC的長度，進(jìn)而可得出△ACM周長的最小值；

（3）過點(diǎn)P作PE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，則△PDE為等腰直角三角形，進(jìn)而可得出PE=PD，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m），由PA=PE可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線解析式為y=x2-2x-3．

（2）連接BC，交拋物線對稱軸于點(diǎn)M，此時AM+CM取得最小值，最小值為BC的長度，如圖1所示，

當(dāng)x=0時，y=x2-2x-3=-3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+a（k≠0），

將B（3，0），C（0，-3）代入y=kx+a，得：

，解得：，

∴直線BC的解析式為y=x-3．

∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）．

當(dāng)x=1時，y=x-3=-2，

∴當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-2）時，AM+CM取得最小值，最小值BC==3．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），

∴AC==，

∴△ACM周長的最小值為3+．

（3）過點(diǎn)P作PE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，如圖2所示．

∵以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)P在直線x=1上．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4），

∴直線CD的解析式為y=-x-3，

∴∠PDE=45°，

∴△PDE為等腰直角三角形，

∴PE=PD．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m）．

∵PA=PE，

∴=（m+4），

整理，得：m2-8m-8=0，

解得：m1=4+2，m2=4-2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4+2）或（1，4-2）．