Question

7．如圖，在?ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AB的延長線上，且AE=AD，CF=CB．
（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）若去掉已知條件“∠DAB=∠60°”，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知條件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四邊形AFCE是平行四邊形．
（2）上述結(jié)論還成立，可以證明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四邊形AFCE是平行四邊形．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．
∴∠ADE=∠CBF=60°．
∵AE=AD，CF=CB，
∴△AED，△CFB是正三角形．
∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．
∴四邊形AFCE是平行四邊形．

（2）解：上述結(jié)論還成立．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE=AD，CF=CB，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．
∴∠AED=∠CFB．
又∵AD=BC，
在△ADE和△CBF中．
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CBF}\\{∠AED=∠CFB}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．
又∵∠DAB=∠BCD，
∴∠EAF=∠FCE．
∴四邊形EAFC是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及平行四邊形的判定．多種知識(shí)綜合運(yùn)用是解題中經(jīng)常要遇到的，熟記平行四邊形的各種判定方法是解題關(guān)鍵．