Question

如圖，拋物線y=ax²+（a+c）x+c的頂點B在第一象限，它與y軸正半軸交于點A，與x軸交于點D，C，點C在x軸正方向．
（1）求點D的坐標；
（2）若直線AB和x軸負方向交于點F，∠BFC=45°，比較DF：DO和tan∠BCF的大小．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程ax²+（a+c）x+c=0，再根據(jù)點D在x軸的負半軸即可得解；
（2）根據(jù)∠BFC=45°可得△AOF是等腰直角三角形，根據(jù)點D與點A的坐標分別表示出DF與DO的長度，即可求出其比值，利用頂點公式寫出點B的坐標，過點B作BE⊥x軸于點E，根據(jù)∠BFC=45°可知△BEF是等腰直角三角形，利用BE=EF列式求出a、c的關(guān)系，再根據(jù)BE與CE的長度列式求出tan∠BCF，然后進行比較即可得解．

解答：解：（1）y=0時，ax²+（a+c）x+c=0，
△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²，
結(jié)合圖形可知，a＜0，c＞0，
∴x=

-b± △

2a

=

-(a+c)± (a-c)2

2a

=

-(a+c)±(c-a)

2a

，
解得x₁=-1，x₂=-

c

a

，
∴點D的坐標是（-1，0）；

（2）當x=0時，y=ax²+（a+c）x+c=c，
∵∠BFC=45°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴OF=c，
∴DF=OF-DO=c-1，
∴DF：DO=（c-1）：1=c-1，
∵-

b

2a

=-

a+c

2a

，

4ac-b2

4a

=

4ac-(a+c)2

4a

=-

(a-c)2

4a

，
∴頂點B的坐標是（-

a+c

2a

，-

(a-c)2

4a

），
過點B作BE⊥x軸，垂足為E，則△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=EF，
即-

(a-c)2

4a

=-

a+c

2a

+c，
整理得a+c=2，
又∵CE=CO-OE=-

c

a

-（-

a+c

2a

）=

a-c

2a

，
∴tan∠BCF=

BE

CE

=

- (a-c)2 4a

a-c 2a

=

c-a

2

=

c-(2-c)

2

=c-1，
∴DF：DO=tan∠BCF=c-1．

點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，包括二次函數(shù)解析式與x軸的交點的求解，等腰直角三角形的性質(zhì)，頂點坐標的求解，以及正切函數(shù)的求解，綜合性較強，難度較大，但只要認真分析，仔細計算也不難求解．