Question

12．如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）
（1）求拋物線的解析式；
（2）直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求過O，B，C三點(diǎn)的圓的面積．（結(jié)果用含π的代數(shù)式表示）
注：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-b^2}{4a}$）

Answer 1

分析 （1）利用對稱軸方程可求得b，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可求得c，可求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)A、B關(guān)于對稱軸對稱可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用拋物線的解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)B、C坐標(biāo)可求得BC長度，由條件可知BC為過O、B、C三點(diǎn)的圓的直徑，可求得圓的面積．

解答 解：
（1）由A（-1，0），對稱軸為x=2，可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}=2}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-4x-5；
（2）由A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），且對稱軸方程為x=2，可知AB=6，
∴OB=5，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），
∵y=x²-4x-5，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-5）；
（3）如圖，連接BC，則△OBC是直角三角形，

∴過O、B、C三點(diǎn)的圓的直徑是線段BC的長度，
在Rt△OBC中，OB=OC=5，
∴BC=5$\sqrt{2}$，
∴圓的半徑為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴圓的面積為π（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{25}{2}$π．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法、勾股定理、圓周角定理等．在（3）中確定出圓的半徑是解題的關(guān)鍵．本題屬于基礎(chǔ)性的題目，難度不大．