Question

如圖：等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E從B出發(fā)沿AB的延長(zhǎng)線(xiàn)BF向右運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)D、E都以每秒0.5cm的速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中DE與BC相交于點(diǎn)P．
（1）運(yùn)動(dòng)幾秒后，△ADE為直角三角形？
（2）求證：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P始終為線(xiàn)段DE的中點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）設(shè)x秒時(shí)，△ADE為直角三角形，則CD=0.5x，BE=0.5x，AD=4-0.5x，AE=4+0.5x，根據(jù)30°的直角邊=斜邊的一般建立方程求出其解即可；
（2）作DG∥AB交BC于點(diǎn)E，證明△DGP≌△EBP，就可以得出PD=PE．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=4cm，∠A=∠ABC=∠C=60°．
設(shè)x秒時(shí)，△ADE為直角三角形，
∴∠ADE=90°，CD=0.5x，BE=0.5x，AD=4-0.5x，AE=4+0.5x，
∴∠AED=30°，
∴AE=2AD，
∴4+0.5x=2（4-0.5x），
∴x=

8

3

；
答：運(yùn)動(dòng)

8

3

秒后，△ADE為直角三角形；

（2）作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，
∴∠GDP=∠BEP，∠DGP=∠EBP，∠CDG=∠A=60°，∠CGD=∠ABC=60°，
∴∠C=∠CDG=∠CGD，
∴△CDG是等邊三角形，
∴DG=DC，
∵DC=BE，
∴DG=BE．
在△DEP和△EBP中

∠GDP=BEP DG=EB ∠DGP=∠EBP

，
∴△DGP≌△EBP（ASA），
∴DP=PE．
∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P始終為線(xiàn)段DE的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，含30°角的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．