【題目】如圖,C為射線AB上一點(diǎn),AB=30,AC比BC的 多5,P,Q兩點(diǎn)分別從A,B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā).分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,M為BP的中點(diǎn),N為QM的中點(diǎn),以下結(jié)論: ①BC=2AC;②AB=4NQ;③當(dāng)PB= BQ時(shí),t=12,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

A.0
B.1
C.2
D.3

【答案】C
【解析】解:設(shè)BC=x, ∴AC= x+5
∵AC+BC=AB
∴x+ x+5=30,
解得:x=20,
∴BC=20,AC=10,
∴BC=2AC,故①成立,
∵AP=2t,BQ=t,
當(dāng)0≤t≤15時(shí),
此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上,
∴BP=AB﹣AP=30﹣2t,
∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)
∴MB= BP=15﹣t
∵QM=MB+BQ,
∴QM=15,
∵N為QM的中點(diǎn),
∴NQ= QM= ,
∴AB=4NQ,
當(dāng)15<t≤30時(shí),
此時(shí)點(diǎn)P在線段AB外,且點(diǎn)P在Q的左側(cè),
∴AP=2t,BQ=t,
∴BP=AP﹣AB=2t﹣30,
∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)
∴BM= BP=t﹣15
∵QM=BQ﹣BM=15,
∵N為QM的中點(diǎn),
∴NQ= QM= ,
∴AB=4NQ,
當(dāng)t>30時(shí),
此時(shí)點(diǎn)P在Q的右側(cè),
∴AP=2t,BQ=t,
∴BP=AP﹣AB=2t﹣30,
∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)
∴BM= BP=t﹣15
∵QM=BQ﹣BM=15,
∵N為QM的中點(diǎn),
∴NQ= QM=
∴AB=4NQ,
綜上所述,AB=4NQ,故②正確,
當(dāng)0<t≤15,PB= BQ時(shí),此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上,
∴AP=2t,BQ=t
∴PB=AB﹣AP=30﹣2t,
∴30﹣2t= t,
∴t=12,
當(dāng)15<t≤30,PB= BQ時(shí),此時(shí)點(diǎn)P在線段AB外,且點(diǎn)P在Q的左側(cè),

∴AP=2t,BQ=t,
∴PB=AP﹣AB=2t﹣30,
∴2t﹣30= t,
t=20,
當(dāng)t>30時(shí),此時(shí)點(diǎn)P在Q的右側(cè),

∴AP=2t,BQ=t,
∴PB=AP﹣AB=2t﹣30,
∴2t﹣30= t,
t=20,不符合t>30,
綜上所述,當(dāng)PB= BQ時(shí),t=12或20,故③錯(cuò)誤;
故選(C)
根據(jù)AC比BC的 多5可分別求出AC與BC的長度,然后分別求出當(dāng)P與Q重合時(shí),此時(shí)t=30s,當(dāng)P到達(dá)B時(shí),此時(shí)t=15s,最后分情況討論點(diǎn)P與Q的位置.

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A.2

B.3

C.

D.1+

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