Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，且于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，連接.

（1）求證：是等邊三角形；

（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）平行于的直線從原點(diǎn)出發(fā)，沿軸正方向平移.設(shè)直線被四邊形截得的線段長(zhǎng)為，直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

①當(dāng)直線與軸的交點(diǎn)在線段上（交點(diǎn)不與點(diǎn)重合）時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出自變量的取值范圍）

②若，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析 （2） （3）① ②，

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，根據(jù)已知條件，依據(jù)三角函數(shù)求得∠AOM=60°，根據(jù)勾股定理求得OA=4，即可求得．

（2）過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N，則四邊形AMCN是矩形，在Rt△ABN中，根據(jù)三角函數(shù)求得AN、BN的值，從而求得OC、BC的長(zhǎng)，得出點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（3）①如圖3，因?yàn)椤?/span>B=60°，BC=4，所以PC=12，EM=m，因?yàn)?/span>OC=8，所以PO=4，OF=t，MF=m，OM=，所以PM=4+（），根據(jù)△PME∽△PCB即可求得m=.

②如圖4，△OEF是等邊三角形所以OF=EF=m=2，在Rt△PCF′中∠CF′P=60°，∠BPE′=∠CPF′=30°，所以BP=PE′÷sin∠B=，PC=，根據(jù)勾股定求得CF′=，所以OF′=.

解：（l）如圖.

證明：過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，

∴在中，，∴

由勾股定理得，，

∵，∴，

∴是等邊三角形.

（2）如圖

解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，軸，

∴，

∴四邊形為矩形，∴，，

∵，，∴在中，

，

.

∴，，

∴，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（3）

①如圖3，∠B=60°，BC=4

PC=12，EM=m，

OC=8，

PO=4，OF=t，MF=m，OM=，

PM=4+（），

由△PME∽△PCB即可求得m=.

②如圖4，△OEF是等邊三角形

OF=EF=m=2，

在Rt△PCF′中∠CF′P=60°，∠BPE′=∠CPF′=30°

BP=PE′÷sin∠B=，PC=，

由勾股定求得CF′=，所以OF′=.

故答案為：，