【題目】已知拋物線經(jīng)過(guò)A(20),B(02),C(0)三點(diǎn),一動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng),連接BP,過(guò)點(diǎn)A作直線BP的垂線交y軸于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當(dāng)BQ=AP時(shí),求t的值;

(3)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),拋物線上是否存在一點(diǎn)M,使△MPQ為等邊三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)t的值及相應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) y=x2x+2 ;(2) t=6時(shí),BQ=AP;(3) 當(dāng)t=1時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M(1,1);當(dāng)t=3+3時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M(3,﹣3)

【解析】

1)利用代入系數(shù)法,將3點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得;

2)存在2種情況,點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方和上方,利用BQ=AP易求得t的值;

3)先證△AOQ≌△BOP,得到△OPQ為等腰直角三角形,得M點(diǎn)必在PQ的垂直平分線上,即My=x上,聯(lián)立點(diǎn)M在拋物線上的方程,解得M2種情況,最后利用△MPQ為等邊三角形的幾何性質(zhì)分析求解即可.

解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

∵拋物線經(jīng)過(guò)A(2,0),B(02),C(0)三點(diǎn),

,

解得,

y=x2x+2

(2)AQPB,BOAP,

∴∠AOQ=BOP=90°,∠PAQ=PBO,

AO=BO=2,

∴△AOQ≌△BOP,

OQ=OP=t

①如圖1,當(dāng)t≤2時(shí),點(diǎn)Q在點(diǎn)B下方,此時(shí)BQ=2t,AP=2+t

BQ=AP,

2t= (2+t),

t=

②如圖2,當(dāng)t2時(shí),點(diǎn)Q在點(diǎn)B上方,此時(shí)BQ=t2,AP=2+t

BQ=AP

t2= (2+t),

t=6

綜上所述,t=6時(shí),BQ=AP

(3)當(dāng)t=1時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M(1,1);當(dāng)t=3+3時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M(3,﹣3)

分析如下:

AQBP,

∴∠QAO+BPO=90°,

∵∠QAO+AQO=90°

∴∠AQO=BPO

在△AOQ和△BOP中,

,

∴△AOQ≌△BOP,

OP=OQ,

∴△OPQ為等腰直角三角形,

∵△MPQ為等邊三角形,則M點(diǎn)必在PQ的垂直平分線上,

∵直線y=x垂直平分PQ,

My=x上,設(shè)M(x,y)

,

解得,

M點(diǎn)可能為(11)(3,﹣3)

①如圖3,當(dāng)M的坐標(biāo)為(1,1)時(shí),作MDx軸于D,

則有PD=|1t|MP2=1+|1t|2=t22t+2,PQ2=2t2,

∵△MPQ為等邊三角形,

MP=PQ,

t2+2t2=0,

t=1+,t=1 (負(fù)值舍去)

②如圖4,當(dāng)M的坐標(biāo)為(3,﹣3)時(shí),作MEx軸于E,

則有PE=3+t,ME=3,

MP2=32+(3+t)2=t2+6t+18,PQ2=2t2,

∵△MPQ為等邊三角形,

MP=PQ,

t26t18=0

t=3+3,t=33 (負(fù)值舍去)

綜上所述,當(dāng)t=1+時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M(1,1),或當(dāng)t=3+3時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M(3,﹣3),使得△MPQ為等邊三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

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3)如圖②,點(diǎn)Qx軸下方拋物線上任意一點(diǎn),點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn),直線AQ、BQ分別交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M、N.請(qǐng)問(wèn)DM+DN是否為定值?如果是,請(qǐng)求出這個(gè)定值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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1)求拋物線的解析式;

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3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點(diǎn)使若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)求出y1y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式

(2)求此專業(yè)戶種植花卉和樹(shù)木獲取的總利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于投入種植花卉的資金t(萬(wàn)元)之間的函數(shù)關(guān)系式:

(3)此專業(yè)戶投入種植花卉的資金為多少萬(wàn)元時(shí),才能使獲取的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?

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(1)本次調(diào)查中,一共調(diào)查了   名路人.

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

(3)扇形圖中的b=   

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(1)本次參加抽樣調(diào)查的居民有多少人?

(2)將兩幅不完整的圖補(bǔ)充完整;

(3)若居民區(qū)有8000人,請(qǐng)估計(jì)愛(ài)吃D粽的人數(shù);

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1)求、兩種型號(hào)的機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少材料?

2)該公司計(jì)劃采購(gòu)、兩種型號(hào)的機(jī)器人共臺(tái),要求每小時(shí)搬運(yùn)的材料不得少于,則至少購(gòu)進(jìn)型機(jī)器人多少臺(tái)?

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(收集數(shù)據(jù))

15名男生測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下:(滿分100分)7890,9993,9295,94,10090,85,86,95,75,8890

15名女生測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下:(滿分100分)77,8283,86,9090,92,91,9392,92,92,9298,100

(整理、描述數(shù)據(jù))

70.575.5

75.580.5

80.585.5

85.590.5

90.595.5

95.5100.5

男生

1

1

1

5

5

2

女生

0

1

2

3

7

2

(分析數(shù)據(jù))

1)兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差如下表所示:

性別

平均數(shù)

眾數(shù)

中位數(shù)

方差

男生

90

90

90

44.9

女生

90

32.8

在表中:________________;

2)若規(guī)定得分在80分以上(不含80分)為合格,請(qǐng)估計(jì)全校學(xué)生中“預(yù)防新型冠狀病毒”知識(shí)測(cè)試合格的學(xué)生有多少人?

3)通過(guò)數(shù)據(jù)分析得到的結(jié)論,你認(rèn)為男生和女生中誰(shuí)的成績(jī)比較好?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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