已知,如圖1:在正方形ABCD中,AB=2,點(diǎn)P是DC延長線上一點(diǎn),以P為圓心,PD長為半徑的圓的一段弧交AB邊于點(diǎn)E,
(1)若以A為圓心,AE為半徑的圓與以BC為直徑的圓外切時(shí),求AE的長;
(2)如圖2:連接PE交BC邊于點(diǎn)F,連接DE,設(shè)AE長為x,CF長為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)將點(diǎn)B沿直線EF翻折,使點(diǎn)B落在平面上的B′處,當(dāng)EF=數(shù)學(xué)公式時(shí),△AB′B與△BEF是否相似?若相似,請加以證明;若不相似,簡要說明理由.

解:(1)取BC的中點(diǎn)G,連接AG.
∵圓A與圓G圓外切,
∴AG=AE+1.
正方形ABCD中,AB=2,設(shè)AE=x.
∵在Rt△ABG中,AB2+BG2=AG2
(負(fù)數(shù)舍去).
∴以A為圓心,AE為半徑的圓與以BC為直徑的圓外切時(shí),AE的長為

(2)過點(diǎn)D作DH⊥PE于H,連接DF.
∵PD=PE,
∴∠PDE=∠PED.
∵四邊形ABCD為正方形,
∴DC∥AB,
∴∠PDE=∠DEA,
∴∠PED=∠DEA;
∵∠A=∠DHE=90°,DE=DE,
∴△DAE≌△DHE;
∴DA=DH,EA=EH.
∵DC=DH,∠DCF=∠DHF=90°,DF=DF,
∴△DHF≌△DCF;
∴CF=FH;
∵AE=x,CF=y,
∴EF=x+y,BE=2-x,BF=2-y;
∴在直角三角形BEF中,BE2+BF2=EF2,
∴(2-x)2+(2-y)2=(x+y)2,
整理得到:;

(3)∵EF=
,
,
解得:
當(dāng)x1=1時(shí),;
∵B沿直線EF翻折落在平面上的B'處,
∴BB'⊥EF,設(shè)垂足為Q.
∴BQ=,BB'=
∵E、Q分別為AB、BB'的中點(diǎn),
∴EQ∥AB',
∴∠ABB'=∠EQB=90°.
在△AB'B與△BEF中,,
=,
∴△AB'B∽△BEF;
(用相似傳遞性也可以證明△AB'B∽△BEF,也按步驟分步得分)
當(dāng)時(shí),
==2,=1,
EQ與AB'不平行,
∴△ABB'不是直角三角形,
∴△AB'B與△BEF不相似.
綜上所述,當(dāng)EF=,AE=1時(shí),△AB'B∽△BEF;
當(dāng)EF=,時(shí),△AB'B與△BEF不相似.
分析:(1)兩圓外切,則圓心距等于兩圓的半徑和;設(shè)BC的中點(diǎn)為G,那么AG的長應(yīng)該是AE+BC,進(jìn)而可在Rt△ABG中,由勾股定理求得AE的長.
(2)若要x、y發(fā)生聯(lián)系,需將它們構(gòu)建到同一個(gè)直角三角形中;連接DF,過D作DH⊥PE于H;通過證△DAE≌△DHE得到AE=EH=x,通過證△DHF≌△DCF得到CF=FH=y,進(jìn)而可在Rt△EFB中,根據(jù)勾股定理求得x、y的函數(shù)關(guān)系式;
(3)由(2)知:當(dāng)EF=時(shí),x+y=,聯(lián)立(2)的函數(shù)關(guān)系式可求得此時(shí)x的值,進(jìn)而可求出AE、BF的長;根據(jù)折疊的性質(zhì)知:EF垂直平分BB′,設(shè)垂足為Q;在Rt△BEF中,根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法,可求得BQ的長,也就得出了BB′的長;然后再判斷兩個(gè)直角三角形的對應(yīng)邊是否成比例即可.
點(diǎn)評:此題考查了正方形的性質(zhì)、相切兩圓的位置關(guān)系、勾股定理、相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識的應(yīng)用能力,綜合性強(qiáng),難度較大.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)已知:如圖,⊙P與x軸切于點(diǎn)O,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)A在⊙P上,且在第一象限,∠APO=150°,⊙P沿x軸正方向滾動(dòng),當(dāng)點(diǎn)A第一次落在x軸上時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為
 
(結(jié)果保留π).

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已知:如圖所示,直線l的解析式為y=
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x-3,并且與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為1的圓,以0.4個(gè)單位/每秒的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng),問什么時(shí)刻該圓與直線l相切;
(3)在題(2)中,若在圓開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí),一動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),沿BA方向以0精英家教網(wǎng).5個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),問在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中,點(diǎn)P在動(dòng)圓的園面(圓上和圓的內(nèi)部)上一共運(yùn)動(dòng)了多長時(shí)間?

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(2)求經(jīng)過B、D兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+6的解析式;
(3)在(2)中所求的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得S△PBC=
1
2
S梯形ABCD
?若存在,請求出該點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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2
,AD=2,AE=
2
3

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(3)(2)中所求的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得S△PBD=S?ABCD?若存在,請求出該點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(2)動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度,從點(diǎn)B出發(fā)沿著x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q是射線CE上的點(diǎn),且∠PAQ=∠BAC,設(shè)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,求△POQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,直線CE上是否存在一點(diǎn)F,使以點(diǎn)F、A、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出t值及Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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