Question

已知：如圖所示，直線l的解析式為y=

3

4

x-3，并且與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為1的圓，以0.4個(gè)單位/每秒的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，問什么時(shí)刻該圓與直線l相切；
（3）在題（2）中，若在圓開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿BA方向以0.5個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，問在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)P在動(dòng)圓的園面（圓上和圓的內(nèi)部）上一共運(yùn)動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間？

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橹本�l的解析式為y=

3

4

x-3，并且與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，所以分別令y=0；x=0，即可求出A、B的坐標(biāo)；
（2）可設(shè)動(dòng)圓的圓心在C處時(shí)與直線l相切，設(shè)切點(diǎn)為D，連接CD，則CD⊥AD，CD=1，由∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=90°，可知Rt△ACD∽R(shí)t△ABO，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比，可得

CD

BO

=

AC

AB

，即

1

3

=

AC

5

，求出AC的值，即可得到此時(shí)OC的值，利用OC的長(zhǎng)度結(jié)合速度即可求出時(shí)間；根據(jù)對(duì)稱性，圓C還可能在直線l的右側(cè)，與直線l相切，
此時(shí)OC=4+

5

3

=

17

3

，t=

s

v

=

17

3

÷0.4=

85

6

；
（3）可設(shè)在t秒時(shí)，動(dòng)圓的圓心在F點(diǎn)處，動(dòng)點(diǎn)在P處，此時(shí)OF=0.4t，BP=0.5t，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0.4t，0），連接PF．
因?yàn)?span id="11yffwl" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

OF

BP

=

0.4t

0.5t

=

4

5

，又

OA

BA

=

4

5

，所以可得到

OF

BP

=

OA

BA

，進(jìn)而可得到FP∥OB，PF⊥OA，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.4t，又結(jié)合P點(diǎn)在直線AB上，可得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0.3t-3，因此可見：當(dāng)PF=1時(shí)，P點(diǎn)在動(dòng)圓上，當(dāng)0≤PF＜1時(shí)，P點(diǎn)在動(dòng)圓內(nèi)，而當(dāng)P=1時(shí)，由對(duì)稱性可知，有兩種情況：①當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，PF=-（0.3t-3）=1，解之可得t的值，②當(dāng)P點(diǎn)在x軸上方時(shí)，PF=0.3t-3=1，解之得t的另一個(gè)值，進(jìn)而可得到當(dāng)

20

3

≤t≤

40

3

時(shí)，0≤PF≤1，并且此時(shí)點(diǎn)P在動(dòng)圓的圓面上，所經(jīng)過的時(shí)間為

40

3

-

20

3

=

20

3

．

解答：解：（1）在y=

3

4

x-3中，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4，故得A、B兩的坐標(biāo)為
A（4，0），B（0，-3）．                                               （2分）

（2）若動(dòng)圓的圓心在C處時(shí)與直線l相切，設(shè)切點(diǎn)為D，如圖所示．
連接CD，則CD⊥AD．                                                    （3分）
由∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=90°，可知Rt△ACD∽R(shí)t△ABO，
∴

CD

BO

=

AC

AB

，即

1

3

=

AC

5

，則AC=

5

3

．                                 （4分）
此時(shí)OC=4-

5

3

=

7

3

，t=

s

v

=

7

3

÷0.4=

35

6

（秒）．                       （5分）
根據(jù)對(duì)稱性，圓C還可能在直線l的右側(cè)，與直線l相切，
此時(shí)OC=4+

5

3

=

17

3

．                                                  （7分）
t=

s

v

=

17

3

÷0.4=

85

6

（秒）．
答：（略）．                                                           （8分）

（3）設(shè)在t秒，動(dòng)圓的圓心在F點(diǎn)處，動(dòng)點(diǎn)在P處，此時(shí)OF=0.4t，BP=0.5t，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0.4t，0），連接PF，
∵

OF

BP

=

0.4t

0.5t

=

4

5

，又

OA

BA

=

4

5

，
∴

OF

BP

=

OA

BA

，
∴FP∥OB，∴PF⊥OA（9分）
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.4t，
又∵P點(diǎn)在直線AB上，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0.3t-3，
可見：當(dāng)PF=1時(shí)，P點(diǎn)在動(dòng)圓上，當(dāng)0≤PF＜1時(shí)，P點(diǎn)在動(dòng)圓內(nèi)．               （10分）
當(dāng)PF=1時(shí)，由對(duì)稱性可知，有兩種情況：
①當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，PF=-（0.3t-3）=1，解之得：t=

20

3

；
②當(dāng)P點(diǎn)在x軸上方時(shí)，PF=0.3t-3=1，解之得：t=

40

3

．                      （11分）
∴當(dāng)時(shí)

20

3

≤t≤

40

3

時(shí)，0≤PF≤1，此時(shí)點(diǎn)P在動(dòng)圓的圓面上，所經(jīng)過的時(shí)間為

40

3

-

20

3

=

20

3

，
答：動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)圓的圓面上共經(jīng)過了

20

3

秒．                                  （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性強(qiáng)的題目，解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．