Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+4x+5與x軸，y軸分別交于A，B，C三點(diǎn)．

（1）請直接寫出A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)：A（_____，_____）、B（_____，______）、C（______，______）

（2）若⊙M過A、B、C三點(diǎn)，求圓心M的坐標(biāo)，并求⊙M的面積；

（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得由A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0）、（5，0）、（0，5）；（2）M（2，2），13π；（3）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）令y=-x2+4x+50，解一元二次方程，求出x的值，即可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，點(diǎn)x=0，求出y的值，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）首先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求出圓M的半徑，即可求出圓的面積；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)N，若四邊形ACN1M為平行四邊形，根據(jù)平移的知識求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而作出判斷即可．

解：（1）令y=﹣x2+4x+5=0，

解得x1=﹣1，x2=5，

即點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，0），

令x=0，y=5，

即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），

故答案為（﹣1，0）、（5，0）、（0，5）；

（2）圓心再線段AB的垂直平分線上，

AB的垂直平分線為x=2，

圓心M再線段BC的垂直平分線上，

BC的垂直平分線為y=x，

∴M（2，2），

∴MB==，

∴⊙M的面積=13π；

（3）不存在，理由如下：

如圖，假設(shè)存在點(diǎn)N，若四邊形ACN1M為平行四邊形，則MN1可以由AC平移得到，

由點(diǎn)A（﹣1，0）平移到M（2，2），

可知C（0，5）平移得到N1的坐標(biāo)為（3，7），

將x=3代入y=﹣x2+4x+5，得到y=8，故N1（3，7）不在函數(shù)的圖象上，

同理可得，N2（﹣3，3）；N3（1，﹣3），

將x=﹣3代入y=﹣x2+4x+5，得到y=﹣16，故N2（﹣3，3）不在函數(shù)的圖象上，

將x=﹣1代入y=﹣x2+4x+5，得到y=8，故N3（1，﹣3）不在函數(shù)的圖象上，

∴不存在拋物線上點(diǎn)，使得由ACMN四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形．