【題目】如圖1,已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O,連接AC、BD,我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.如圖2,∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P,并且與CD、AB分別相交于M、N.試解答下列問題:

(1)仔細(xì)觀察,在圖2中有 個(gè)以線段AC為邊的“8字形”
(2)在圖2中,若∠B=96°,∠C=100°,求∠P的度數(shù).
(3)在圖2中,若設(shè)∠C=α,∠B=β,∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系(用α、β表示∠P),并說明理由;
(4)如圖3,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為

【答案】
(1)3
(2)

解:∵∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P,

∴∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP,

∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,

∴∠C﹣∠P=∠P﹣∠B,

即∠P=(∠C+∠B),

∵∠C=100°,∠B=96°

∴∠P=(100°+96°)=98°;


(3)

解:∠P=(β+2α);

理由:∵∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,

∴∠BAP=∠BAC,∠BDP=∠BDC,

∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,

∴∠C﹣∠P=∠BDC﹣∠BAC,∠P﹣∠B=∠BDC﹣∠BAC,

∴2(∠C﹣∠P)=∠P﹣∠B,

∴∠P=(∠B+2∠C),

∵∠C=α,∠B=β,

∴∠P=(β+2α);


(4)3600
【解析】(1)以M為交點(diǎn)的“8字形”有1個(gè),以O(shè)為交點(diǎn)的“8字形”有2個(gè);
(2)根據(jù)角平分線的定義得到∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,兩等式相減得到∠C﹣∠P=∠P﹣∠B,即∠P=(∠C+∠B),然后把∠C=100°,∠B=96°代入計(jì)算即可;
(3)與(2)的證明方法一樣得到∠P=(2∠C+∠B).
(4)根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠B+∠A=∠1,∠C+∠D=∠2,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得答案.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的三角形的內(nèi)角和外角和多邊形內(nèi)角與外角,需要了解三角形的三個(gè)內(nèi)角中,只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角;直角三角形的兩個(gè)銳角互余;三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角;多邊形的內(nèi)角和定理:n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180°.多邊形的外角和定理:任意多邊形的外角和等于360°才能得出正確答案.

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如圖1,AB∥CD,求證:∠B+∠D=∠BED.
證明:過點(diǎn)E引一條直線EF∥AB
∴∠B=∠BEF,(
∵AB∥CD,EF∥AB
∴EF∥CD(
∴∠D=
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED
即∠B+∠D=∠BED.
(2)如圖2,AB∥CD,請(qǐng)寫出∠B+∠BED+∠D=360°的推理過程.
(3)如圖3,AB∥CD,請(qǐng)直接寫出結(jié)果∠B+∠BEF+∠EFD+∠D=

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