Question

5．（1）問題
如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°．求證：$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$．
（2）探究
如圖，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由．
（3）應(yīng)用
請利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗解決問題
如圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出發(fā)，沿邊AB向點B運動，且滿足∠CPD=∠A．設(shè)點P的運動時間為t（秒），當(dāng)以D為圓心，DC為半徑的圓與AB相切時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（2）如圖2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（3）如圖3，過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=BE=3，根據(jù)勾股定理可得DE=4，由題可得DC=DE=4，則有BC=5-4=1．易證∠DPC=∠A=∠B．根據(jù)AD•BC=AP•BP，就可求出t的值．

解答 （1）證明：如圖1，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$；

（2）解：結(jié)論$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$仍然成立．
理由：如圖2，

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．
∵∠DPC=∠A=∠B=θ，
∴∠BPC=∠ADP，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$；

（3）解：如圖3，

過點D作DE⊥AB于點E．
∵AD=BD=5，AB=6，
∴AE=BE=3．
由勾股定理可得DE=4．
∵以點D為圓心，DC為半徑的圓與AB相切，
∴DC=DE=4，
∴BC=5-4=1．
又∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
∴∠DPC=∠A=∠B．
∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
∵∠BPD=∠A+∠ADP=∠DPC+∠BPC，∠DPC=∠A，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△APD∽△BCP，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$，
∴AD•BC=AP•BP；
∴5×1=t（6-t），
解得：t₁=1，t₂=5，
∴t的值為1秒或5秒．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性質(zhì)、解一元二次方程等知識，以及運用已有經(jīng)驗解決問題的能力，滲透了特殊到一般的思想．