Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接BE，CD，點M，N，P分別是BE，CD，BC的中點，連接DE，PM，PN，MN．

（1）觀察猜想，如圖中ΔPMN是_______（填特殊三角形的名稱）

（2）探究證明，如圖，ΔADE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，則ΔPMN的形狀是否發(fā)生改變？并就如圖說明理由．

（3）拓展延伸，若ΔADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，AD=2，AB=6，請直接寫出ΔPMN的周長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形；（2）的形狀不發(fā)生改變，仍為等邊三角形，理由見解析；（3）的周長的最大值為12

【解析】

（1）如圖1，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，則BD=CE，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得PM∥CE，PMCE，PN∥AD，PNBD，從而得到PM=PN，∠MPN=60°，從而可判斷△PMN為等邊三角形；

（2）連接CE、BD，如圖2，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ΔABD≌ΔACE，則BD=CE，∠ABD=∠ACE，然后可得PM=PN，求出∠MPN=60°，于是可判斷△PMN為等邊三角形．

（3）利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD（當(dāng)且僅當(dāng)點B、A、D共線時取等號）得到BD的最大值為8，則PN的最大值為4，然后可確定△PMN的周長的最大值．

（1）等邊三角形．理由如下：

如圖1，

∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．

∵AD=AE，∴BD=CE．

∵點M、N、P分別是BE、CD、BC的中點，∴PM∥CE，PMCE，PN∥AD，PNBD，∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60°，∠CPN=∠CBA=60°，∴∠MPN=60°，∴△PMN為等邊三角形．

故答案為：等邊三角形；

（2）ΔPMN的形狀不發(fā)生改變，仍為等邊三角形，理由如下：

連接BD，CE．由旋轉(zhuǎn)可得∠BAD=∠CAE．

∵ΔABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠ABC=60°．

又∵AD=AE，∴ΔABD≌ΔACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE．

∵M是BE的中點，P是BC的中點，∴PM是ΔBCE的中位線，∴PM= CE且PM//CE．

同理可證PN=BD且PN//BD，∴PM=PN，∠MPB=∠ECB，∠NPC=∠DBC

∴∠MPB+∠NPC=∠ECB+∠DBC=（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC-∠ABD）

=∠ACB+∠ABC=120°，∴∠MPN=60°，∴ΔPMN是等邊三角形；

（3）∵PNBD，∴當(dāng)BD的值最大時，PN的值最大．

∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（當(dāng)且僅當(dāng)點B、A、D共線時取等號）

∴BD的最大值為2+6=8，∴PN的最大值為4，∴△PMN的周長的最大值為12．