Question

14．如圖，⊙O的半徑為10，點C為$\widehat{AB}$ 的中點，過點C作弦CD∥OA，交OB于E．
（1）當∠D=44°時，∠AOB=88°；
（2）若已知AB=16，求弦CD的長；
（3）當AB的長為多少時，△OED為直角三角形？請寫出解答過程．

Answer 1

分析 （1）如圖，由題意可知∠1=∠2=∠3，∠AOB=2∠3，即可解決問題．
（2）如圖構(gòu)造RT△CDF，利用△CDF∽△OKA即可求出CD．
（3）當∠AOB=90°，可以推出△OED是RT△，再利用勾股定理求AB．

解答 解：（1）∵OD=OC，
∴∠1=∠2，
∵AO∥CD，∠2=44°，
∴∠3=∠1=∠2=44°，
∵點C為$\widehat{AB}$ 的中點，
∴∠3=∠BOC，∠AOB=2∠3=88°，
故答案為88°．
（2）延長CO交⊙O于F，連接DF．
∵點C為$\widehat{AB}$ 的中點，
∴OC⊥AB，垂足為K，
∵CF是直徑，
∴∠FDC=∠AKO=90°，
∵∠1=∠3，
∴△OKA∽△CDF，
∴$\frac{AO}{CF}=\frac{OK}{CD}$，
∵AO=10，AK=$\frac{1}{2}$AB=8，
∴OK=$\sqrt{A{O}^{2}-A{K}^{2}}$=6，
∴$\frac{10}{20}=\frac{6}{CD}$，
∴CD=12．
（3）當∠AOB=90°，由（1）可知∠3=∠BOC=∠1=45°
∴∠OEC=90°，
∴OE⊥DE，
∴△ODE是RT△，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=10$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了垂徑定理、直徑的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識，尋找相似三角形利用相似三角形性質(zhì)求線段是常用的數(shù)學方法．