Question

如圖，已知經(jīng)過點D（2，﹣）的拋物線y=（x+1）（x﹣3）（m為常數(shù)，且m＞0）與x軸交于點A、B（點A位于B的左側(cè)），與y軸交于點C．

（1）填空：m的值為　 　，點A的坐標為　 　；

（2）根據(jù)下列描述，用尺規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：連接AD，在x軸上方作射線AE，使∠BAE=∠BAD，過點D作x軸的垂線交射線AE于點E；

（3）動點M、N分別在射線AB、AE上，求ME+MN的最小值；

（4）t是過點A平行于y軸的直線，P是拋物線上一點，過點P作l的垂線，垂足為點G，請你探究：是否存在點P，使以P、G、A為頂點的三角形與△ABD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

    解：（1）∵拋物線y=（x+1）（x﹣3）經(jīng)過點D（2，﹣），

∴m=，

把m=代入y=（x+1）（x﹣3），得y=（x+1）（x﹣3），

即y=x²﹣x﹣；

令y=0，得（x+1）（x﹣3）=0，

解得x=﹣1或3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）如圖1所示；

（3）過點D作射線AE的垂線，垂足為N，交AB于點M，設(shè)DE與x軸交于點H，如圖2，

由（1）（2）得點D與點E關(guān)于x軸對稱，

∴MD=ME，

∵AH=3，DH=，

∴AD=2，

∴∠BAD=∠BAE=30°，

∴∠DAN=60°，

∴sin∠DAN=，

∴sin60°=，

∴DN=3，

∵此時DN的長度即為ME+MN的最小值，

∴ME+MN的最小值為3；

（4）假設(shè)存在點P，使以P、G、A為頂點的三角形與△ABD相似，如圖3，

∵P是拋物線上一點，

∴設(shè)點P坐標（x，x²﹣x﹣）；

∴點G坐標（﹣1，x²﹣x﹣），

∵A（﹣1，0），B（3，0），D（2，﹣）；

∴AB=4，BD=2，AD=2，

∴△ABD為直角三角形的形狀，

△ABD與以P、G、A為頂點的三角形相似，

分兩種情況：

①△ABD∽△PAG，

∴=，

∴2（x+1）=2（x²﹣x﹣），

解得x₁=4，x₂=﹣1（舍去），

∴P（4，）；

②△ABD∽△APG，

∴=，

∴2（x+1）=2（x²﹣x﹣），

解得x₁=6，x₂=﹣1（舍去），

∴P（6，7）；

∴點P坐標（4，）或（6，7）．