Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝﹣x2+ax+3的頂點(diǎn)為P，它分別與x軸的負(fù)半軸、正半軸交于點(diǎn)A，B，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC，若tan∠OCB﹣tan∠OCA＝．

（1）求a的值；

（2）若過點(diǎn)P的直線l把四邊形ABPC分為兩部分，它們的面積比為1：2，求該直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）y＝﹣8x+12或y＝4x

【解析】

（1）根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可得一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得x1+x2＝a；由函數(shù)解析式可知當(dāng)x＝0時(shí)y的值，則可得OC的長；結(jié)合tan∠OCB﹣tan∠OCA＝得出OB﹣OA＝2，再用x1、x2表示出來，可得a的值；

（2）由（1）可得拋物線的解析式，則可求得點(diǎn)P和點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，延長PC交x軸于點(diǎn)D，作PF⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)S四邊形ABPC＝S△PDB﹣S△CDA，可求得四邊形ABPC的面積；設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)M（m，0），則BM＝3﹣m，根據(jù)直線l把四邊形ABPC分為面積比為1：2的兩部分，分情況列出關(guān)于m的方程，解得m的值，則根據(jù)待定系數(shù)法可得直線l的解析式．

1）∵拋物線y＝﹣x2+ax+3與x軸交于點(diǎn)A，B，

∴方程﹣x2+ax+3＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．

設(shè)這兩個(gè)根分別為x1、x2，且x1＜0，x2＞0，

由韋達(dá)定理得：x1+x2＝a，

∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2+ax+3＝3，

∴OC＝3．

∵tan∠OCB﹣tan∠OCA＝．

∴﹣＝，

∴OB﹣OA＝2，

∴x2﹣（﹣x1）＝2，即x2+x1＝2，

∴a＝2．

（2）由（1）得拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，

∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（1，4）．

解方程﹣x2+2x+3＝0，得x1＝﹣1、x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

延長PC交x軸于點(diǎn)D，作PF⊥x軸于點(diǎn)F，

∴S四邊形ABPC＝S△PDB﹣S△CDA

＝DBPF﹣DAOC

＝（3+3）×4﹣（3﹣1）×3

＝9．

設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)M/span>（m，0），則BM＝3﹣m，

∴S△PMB＝×（3﹣m）×4＝6﹣2m，

當(dāng)6﹣2m＝×9＝3時(shí)，m＝，此時(shí)M（，0），

即直線l過點(diǎn)P（1，4），M（，0），

由待定系數(shù)法可得l的解析式為y＝﹣8x+12；

同理，當(dāng)6﹣2m＝×9＝6時(shí)，m＝0，此時(shí)M（0，0），即直線l過點(diǎn)P（1，4），M（0，0），

由待定系數(shù)法可得l的解析式為y＝4x；

綜上所述，直線l的解析式為y＝﹣8x+12或y＝4x．