Question

【題目】如圖：四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=4，CD=2，BC=5，點E在BC邊上自B向C運動(不與點C重合)，連接AE,過點E作AE的垂線交直線CD于F點．設BE的長為，CF的長為．

(1) 求的值

(2) 求的長，(用含的代數式表示)

(3) 連接AF,在點E運動的過程中，△的外心點的位置也隨之變化,探索：滿足什么條件，外心落在四邊形ABCD的邊上或形外.

Answer 1

【答案】(1)；(2) ，；(3)或

【解析】

（1）如圖，作AE1⊥BC，根據AD=4，CD=2,得到AE1=CD=2,BE1=BC-E1C=1，故可求出的值；

（2）E點取兩個特殊的位置E1,E2,AE1⊥BC，AE2⊥DE2，以AD為直徑的圓與BC相切于E2,再根據圖形分0≤x≤1，與1＜x＜5兩種情況，根據△CEF∽△E1AE，對于線段成比例得到x與y的關系式；

（3）如圖，根據△AEF為直角三角形，△AEF的外心M為AF中點，再分E在BE1上與E在E1C上兩種情況進行討論.

（1）如圖，作AE1⊥BC，

∵AD=4，CD=2,

∴AE1=CD=2,BE1=BC-E1C=1，

∴==2;

（2）E點取兩個特殊的位置E1,E2,AE1⊥BC，AE2⊥DE2，以AD為直徑的圓與BC相切于E2,

當0≤x≤BE1時，即0≤x≤1時，EE1=1-x,EC=5-x，AE1=2，

∵∠AEF=90°，

∴∠AEE1+∠FEC=90°，

又∠AEE1+∠E1AE=90°，

∴∠FEC=∠E1AE

又∠AE1E=∠ECF=90°，

∴△CEF∽△E1AE，

∴

即

化簡得

當E在CE1上時，即即1＜x＜5時，EE1=x-1,EC=5-x，AE1=2，

同理可得△CEF∽△E1AE，

∴

即

化簡得

（3）如圖，根據△AEF為直角三角形，△AEF的外心M為AF中點，

①E在BE1上，如圖，若點M在BC上，此時M與E2重合，AM=MF，

∵AE1∥DF，∴CF=AE1=2

∴EE2=AE2=AE1÷cos45°=2

則此時x=BE=BE2- EE2=3-2

∴當時，CF≥AE1，外心落在四邊形ABCD的邊上或形外；

②E在E1C上，當x=3時，如圖，M在AD中點處，外心落在四邊形ABCD的AD邊上，其余M點都在四邊形ABCD內部，

綜上，或 外心落在四邊形ABCD的邊上或形外.