Question

如圖，已知二次函數(shù)y=-

1

2

x²+bx+c（c＜0）的圖象與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，且OC²=OA•OB．
（1）求c的值；
（2）若△ABC的面積為3，求該二次函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)D是（2）中所確定的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，試問在直線AC上是否存在一點(diǎn)P，使△PBD的周長最�。咳舸嬖�，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）OA與OB的長，就是方程=-

1

2

x²+bx+c=0的兩解，根據(jù)韋達(dá)定理就可以表示出OA•OB=-2c，OC的長是函數(shù)與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值，因而OC²=c²．根據(jù)OC²=OA•OB就可以求出c的值．
（2）S_△ABC=

1

2

AB•OC，根據(jù)韋達(dá)定理可以表示出AB的長，AB邊上的高就是C點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值，根據(jù)△ABC的面積為3就可以求出b的值，從而求出函數(shù)的解析式．
（3）根據(jù)二次函數(shù)的求根公式就可以求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)D坐標(biāo)．過B作BE⊥AC并延長BE到F使EF=BE，則點(diǎn)F和B關(guān)于直線AC對稱，連接DF，交直線AC于點(diǎn)P，所作的點(diǎn)P滿足△PBD的周長最�。�可以求出直線AC與直線DF的交點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
∵x²-2bx-2c=0，則x₁+x₂=2b，x₁•x₂=-2c
∵二次函數(shù)y=-

1

2

x2+bx+c的圖象與y軸交于點(diǎn)C，
∴C（0，c），
由已知OC²=OA•OB得c²=x₁•x₂
∴c²=-2c，
又∵c＜0，
∴c=-2．

（2）S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

|x₂-x₁|•|-c|
=|x₂-x₁|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4b2-16

當(dāng)S_△ABC=3時，

4b2-16

=3，得b2=

25

4

，
又∵該二次函數(shù)的對稱軸在y軸的右側(cè)，
∴b＞0，
∴b=

5

2

，
∴該二次函數(shù)的解析式為y=-

1

2

x2+

5

2

x-2

（3）過B作BE⊥AC并延長BE到F使EF=BE，則點(diǎn)F和B關(guān)于直線AC對稱，
連接DF，交直線AC于點(diǎn)P，則PB+PD=PF+PD=FD，
若直線AC上另外選一點(diǎn)P''，則P''B+P''D=P''F+P''D＞FD，
∴PB+PD＜P''B+P''D，
∴直線AC上的所有點(diǎn)中，存在P到點(diǎn)B和點(diǎn)D的距離和最小，而DB是定值，故所作的點(diǎn)P滿足△PBD的周長最小．
作DH⊥x軸，垂足為H，作FG⊥x軸于G點(diǎn)，
由二次函數(shù)y=-

1

2

x2+

5

2

x-2
∴A（1，0），B（4，0），D（

5

2

，

9

8

）
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∵∠BEA=∠AOC=90°，∠BAE=∠OAC，
∴△EAB∽△OAC，
∴

AE

AB

=

OA

AC

，

BE

AB

=

OC

AC

，而AB=3
∴AE=

3 5

5

，BE=

6 5

5

，
∴BF=

12 5

5

，
同理，由Rt△FGB∽Rt△AEB得，

FG

FB

=

AE

AB

，

BG

FB

=

BE

AB

，
∴FG=

12

5

，GB=

24

5

，
∴OH=

24

5

-4=

4

5

，
∴F(-

4

5

，

12

5

)，
設(shè)過點(diǎn)D（

5

2

，

9

8

），F(xiàn)（-

4

5

，

12

5

）的直線的解析式為y=kx+n，則

5 2 k+n= 9 8 - 4 5 k+n= 12 5

，
解得

k=- 17 44 n= 23 11

，
∴y=-

17

44

x+

23

11

，
而過點(diǎn)A（1，0）和C（0，-2）的直線的解析式為y=2x-2，
由

y=- 17 44 x+ 23 11 y=2x-2

，
得

x= 12 7 y= 10 7

．
∴點(diǎn)P（

12

7

，

10

7

）為所求．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．