精英家教網(wǎng)如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,0),直線y=x+b與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)B在y軸上.點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與A、B不重合),過點(diǎn)P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E.
(1)求b的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)設(shè)線段PE的長(zhǎng)為h,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)若點(diǎn)D為直線AB與該二次函數(shù)的圖象對(duì)稱軸的交點(diǎn),則四邊形DCEP能否構(gòu)成平行四邊形?如果能,請(qǐng)求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不能,請(qǐng)說明理由.
(4)以PE為直徑的圓能否與y軸相切?如果能,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不能,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式設(shè)出二次函數(shù)的解析式,然后將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入其中,即可求出拋物線的解析式和b的值.
(2)PE的長(zhǎng)實(shí)際是直線AB的解析式與拋物線的差.由此可得出h,x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)先求出D點(diǎn)的坐標(biāo)和CD的長(zhǎng),由于四邊形PDCE是平行四邊形,因此CD=PE,將CD的長(zhǎng)代入(2)的函數(shù)關(guān)系式中,可得出一個(gè)關(guān)于x的方程,如果方程無解,則說明不存在這樣的P點(diǎn),如果有解,那么求出的x就是P的橫坐標(biāo),進(jìn)而可根據(jù)直線AB的解析式求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
(4)假設(shè)存在這樣的P點(diǎn),那么此時(shí)圓心到y(tǒng)軸的距離為
1
2
PE,即圓心的橫坐標(biāo)(即P的橫坐標(biāo))為
1
2
h,然后代入(2)的函數(shù)式中即可求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo),進(jìn)而可求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)b=1
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2把A(3,4)代入,
得a=1;
∴拋物線的解析式為y=(x-1)2
即y=x2-2x+1;

(2)h=(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x(0<x<3);

(3)要使四邊形DCEP是平行四邊形,必須有PE=DC,
∵y=x+1經(jīng)過點(diǎn)D,
∴D(1,2),
∴-x2+3x=2,
解得x=2或x=1,
∵當(dāng)x=1時(shí),y=2,
∴P(1,2)與D點(diǎn)重合,故舍去,
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)時(shí),四邊形DCEP是平行四邊形;

(4)設(shè)圓心坐標(biāo)為(m,n),則m=
1
2
h時(shí),該圓與y軸相切,
∵m=x,
∴得x=
-x2+3x
2
,
解得x=1,x=0(舍去),
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)時(shí),以PE為直徑的圓能與y軸相切.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定,平行四邊形的判定和性質(zhì),切線的判定等知識(shí)點(diǎn).
考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,0),直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4),B點(diǎn)在軸y上.
(1)求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與A、B不重合),過P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E,設(shè)線段PE的長(zhǎng)為h,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的交點(diǎn),在線段AB上是否存在一點(diǎn)P,使得四邊形DCEP是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•高淳縣一模)如圖,已知二次函數(shù)y=-
1
2
x2+mx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,
9
2
).
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式,并寫出該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P(2a,a)(其中a>0),與點(diǎn)Q均在該函數(shù)的圖象上,且這兩點(diǎn)關(guān)于圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱,求a的值及點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離.

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(2013•江寧區(qū)二模)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象過點(diǎn)A(-1,0),對(duì)稱軸為過點(diǎn)(1,0)且與y軸平行的直線.
(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)結(jié)合圖象,解答下列問題:
①當(dāng)x取什么值時(shí),該函數(shù)的圖象在x軸上方?
②當(dāng)-1<x<2時(shí),求函數(shù)y的取值范圍.

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如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(2,0),直線y=x+2與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A在y軸上,P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(除A,B兩端點(diǎn)外),過P作x軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q設(shè)線段PQ的長(zhǎng)為l,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)求l與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出l的取值范圍;
(3)線段AB上是否存在一點(diǎn)P,使四邊形PQMA為梯形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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如圖,已知二次函數(shù)y=(x-1)2的圖象的頂點(diǎn)為C點(diǎn),圖象與直線y=x+m的圖象交于A、B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4),B點(diǎn)在y軸上.
(1)求m的值;
(2)點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與A、B不重合),過點(diǎn)P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E,設(shè)線段PE的長(zhǎng)為h,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求h與x之間的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的交點(diǎn),在線段AB上是否存在一點(diǎn)P,使得四邊形DCEP是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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