Question

（2012•衡水一模）如圖，已知二次函數(shù)y=-

1

2

x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，-6）兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C，連接BA、BC，求△ABC的面積；
（3）若拋物線的頂點(diǎn)為D，在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAD的周長最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可得出b、c的值，繼而可得出二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）求得的解析式，可得出對稱軸，也可得出AC的長度，根據(jù)S_△ABC=

1

2

AC×BO可得出答案．
（3）AD長度固定，故只需找到點(diǎn)P使AP+PD最小即可，找到點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A'，連接A'D，則A'D與y軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)P的位置，求出直線A'D的函數(shù)解析式，可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將點(diǎn)A（2，0）、B（0，-6）代入得：

-2+2b+c=0 c=-6

，
解得：

b=4 c=-6

，
故這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：y=-

1

2

x²+4x-6．
（2）∵二次函數(shù)的解析式為：y=-

1

2

x²+4x-6，
∴二次函數(shù)的對稱軸為x=4，即OC=4，
∴AC=2，
故S_△ABC=

1

2

AC×BO=6．
（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，

2

3

）．

AD長度固定，只需找到點(diǎn)P使AP+PD最小即可，找到點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A'，連接A'D，則A'D與y軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)P的位置，
∵點(diǎn)A'與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，
∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（-2，0），
又∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，2），
∴直線A'D的解析式為：y=

1

3

x+

2

3

，
令x=0，則y=

2

3

，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，

2

3

）．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積，要注意掌握點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長度之間的轉(zhuǎn)換，難點(diǎn)在第三問，注意運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)求最短路線．