【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),點(diǎn)A(8,0),點(diǎn)B(0,6),把△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A′B′O′,點(diǎn)A、O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′、O′,記旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)如圖1,若α=90°,則AB= ,并求AA′的長(zhǎng);
(2)如圖2,若α=120°,求點(diǎn)O′的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,邊OA上的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′,當(dāng)O′P+BP′取得最小值時(shí),直接寫出點(diǎn)P′的坐標(biāo).
【答案】(1)10, ;(2)(,9);(3)
【解析】試題分析:(1)、如圖①,先利用勾股定理計(jì)算出AB=5,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BA=BA′,∠ABA′=90°,則可判定△ABA′為等腰直角三角形,然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求AA′的長(zhǎng);(2)、作O′H⊥y軸于H,如圖②,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BO′=3,∠OBO′=120°,則∠HBO′=60°,再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算出BH和O′H的長(zhǎng),然后利用坐標(biāo)的表示方法寫出O′點(diǎn)的坐標(biāo);(3)、由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=BP′,則O′P+BP′=O′P+BP,作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C,連結(jié)O′C交x軸于P點(diǎn),如圖②,易得O′P+BP=O′C,利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)O′P+BP的值最小,接著利用待定系數(shù)法求出直線O′C的解析式為y=x﹣3,從而得到P(,0),則O′P′=OP=,作P′D⊥O′H于D,然后確定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算出P′D和DO′的長(zhǎng),從而可得到P′點(diǎn)的坐標(biāo).
試題解析:(1)、如圖①, ∵點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)B(0,3), ∴OA=4,OB=3, ∴AB==5,
∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△A′BO′, ∴BA=BA′,∠ABA′=90°,
∴△ABA′為等腰直角三角形, ∴AA′=BA=5;
(2)、作O′H⊥y軸于H,如圖②, ∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得△A′BO′,
∴BO=BO′=3,∠OBO′=120°, ∴∠HBO′=60°, 在Rt△BHO′中,∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°,
∴BH=BO′=,O′H=BH=, ∴OH=OB+BH=3+, ∴O′點(diǎn)的坐標(biāo)為();
(3)∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得△A′BO′,點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′, ∴BP=BP′,
∴O′P+BP′=O′P+BP, 作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C,連結(jié)O′C交x軸于P點(diǎn),如圖②,
則O′P+BP=O′P+PC=O′C,此時(shí)O′P+BP的值最小, ∵點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱, ∴C(0,﹣3),
設(shè)直線O′C的解析式為y=kx+b,
把O′(),C(0,﹣3)代入得,解得,
∴直線O′C的解析式為y=x﹣3, 當(dāng)y=0時(shí),x﹣3=0,解得x=,則P(,0),
∴OP=, ∴O′P′=OP=, 作P′D⊥O′H于D,
∵∠BO′A=∠BOA=90°,∠BO′H=30°, ∴∠DP′O′=30°,
∴O′D=O′P′=,P′D=, ∴DH=O′H﹣O′,
∴P′點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,l1反映了某公司銷售一種醫(yī)療器械的銷售收入(萬元)與銷售量(臺(tái))之間的關(guān)系,l2反映了該公司銷售該種醫(yī)療器械的銷售成本(萬元)與銷售量(臺(tái))之間的關(guān)系.當(dāng)銷售收入大于銷售成本時(shí),該醫(yī)療器械才開始贏利.根據(jù)圖象,則下列判斷中錯(cuò)誤的是( )
A. 當(dāng)銷售量為4臺(tái)時(shí),該公司贏利4萬元
B. 當(dāng)銷售量多于4臺(tái)時(shí),該公司才開始贏利
C. 當(dāng)銷售量為2臺(tái)時(shí),該公司虧本1萬元
D. 當(dāng)銷售量為6臺(tái)時(shí),該公司贏利1萬元
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn),與正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn),且.
(1)分別求出這兩個(gè)函數(shù)的解析式;
(2)求的面積;
(3)點(diǎn)在軸上,且是等腰三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于點(diǎn)E.在△ABC外有一點(diǎn)F,使FA⊥AE,F(xiàn)C⊥BC.
(1)求證:BE=CF;
(2)在AB上取一點(diǎn)M,使BM=2DE,連接MC,交AD于點(diǎn)N,連接ME.求證:①ME⊥BC;②DE=DN.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的一條弦,E是AB的中點(diǎn),過點(diǎn)E作EC⊥OA于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作⊙O的切線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.
(1)求證:DB=DE;
(2)若AB=12,BD=5,過D點(diǎn)作DF⊥AB于點(diǎn)F,
①則cos∠EDF= ;
②求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,在以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立的平面直角坐標(biāo)系中,將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至y軸的正半軸上的A′處,若AO=OB=2,則陰影部分面積為( )
A. π B. π﹣1 C. +1 D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新華文具用品店最近購(gòu)進(jìn)了一批鋼筆,進(jìn)價(jià)為每支6元,為了合理定價(jià),在銷售前4天試行機(jī)動(dòng)價(jià)格,賣出時(shí)每支以10元為標(biāo)準(zhǔn),超過10元的部分記為正,不足10元的部分記為負(fù)。文具店記錄了這四天該鋼筆的售價(jià)情況和售出情況,如下表所示:
第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | |
每支價(jià)格相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)價(jià)格(元) | +1 | 0 | -1 | -2 |
售出支數(shù)(支) | 12 | 15 | 32 | 33 |
(1)填空:這四天中賺錢最多的是第______天,這天賺了______元錢;
(2)求新華文具用品店這四天出售這種鋼筆一共賺了多少錢;
(3)新華文具用品店準(zhǔn)備用這四天賺的錢全部購(gòu)進(jìn)這種鋼筆,進(jìn)價(jià)仍為每支6元為了促銷這種鋼筆,每只鋼筆的售價(jià)在10元的基礎(chǔ)上打九折,本次購(gòu)進(jìn)的這種鋼筆全部售出后共賺了多少錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“校園安全”受到全社會(huì)的廣泛關(guān)注,某中學(xué)對(duì)部分學(xué)生就校園安全知識(shí)的了解程度,采用了隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式,并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有 人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“基本了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為 .
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(3)若從對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到“了解”程度的3個(gè)女生和2個(gè)男生中隨機(jī)抽取2人參加校園安全知識(shí)競(jìng)賽,請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好抽到1個(gè)男生和1個(gè)女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,將邊長(zhǎng)為2的正方形OABC如圖①放置,O為原點(diǎn).
(Ⅰ)若將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí),如圖②,求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(Ⅱ)如圖③,若將圖①中的正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°時(shí),求點(diǎn)B的坐標(biāo).
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