Question

【題目】如圖，直線()交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)(用含的代數(shù)式表示)

(2)若點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)距離的最小值為4，求該直線表達(dá)式；

(3)在(2)的基礎(chǔ)上，若點(diǎn)在第一象限，且為等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是；(2) y=-x+2；(3)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是或或時(shí)，是等腰直角三角形.

【解析】

（1）利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)即可得出結(jié)論；
（2）利用直角三角形的面積相等建立方程求出b=2，即可得出結(jié)論；
（3）①當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，先判斷出四邊形ODCE是矩形，得出OD=CE，CD=OE，∠DCE=90°，再判斷出△BCE≌△ACD（AAS），得出BE=AD，CE=CD，進(jìn)而得出AD=4-m，BE=m-2，進(jìn)而用AD=BE建立方程求解即可得出結(jié)論；②③當(dāng)∠BAC=90°和∠ABC=90°時(shí)，構(gòu)造全等三角形即可得出結(jié)論．

(1)當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，解得.

∴點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

(2)如圖，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)的距離最小，此時(shí)，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，

∴，.

在中，

∵

∴

∴，

∴直線AB的解析式為y=-x+2；

（3）如圖，

由（1）知，A（4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2
過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，作CE⊥y軸于E，
∵∠DOE=90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
∴OD=CE，CD=OE，∠DCE=90°，
∴∠BCE+∠BCD=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，
∴BC=AC，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCE=∠ACE，
∴△BCE≌△ACD（AAS），
∴BE=AD，CE=CD，
∴設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，m），
∴AD=OA-OD=4-m，BE=OE-OB=m-2，
∴4-m=m-2，
∴m=3，
∴C（3，3），
如圖2，

②當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)C'作C'F⊥x軸于F，
∴∠C'AF+∠AC'F=90°，
∵∠C'AF+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠FC'A，
∵AB=AC'，
∴△AOB≌△C'FA（AAS），
∴C'F=OA=4，AF=OB=2，
∴OF=OA+AF=6，
∴C'（6，4），
③當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，同②的方法得，C（2，6），
即：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3）或（6，4）或（2，6）．