Question

已知拋物線y=ax²+bx+c過(guò)第一、二、四象限（不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）確定a，b，c的符號(hào)；
（2）若∠CAO=45°，∠CBO=30°，求證：ac=

3

3

；
（3）若∠CAO=45°，∠CBO=30°，且AB=3-

3

，求拋物線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)與系數(shù)a、b、c的關(guān)系求解；
（2）先確定C點(diǎn)坐標(biāo)得到OC=c，在Rt△OAC中，由于∠CAO=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OA=OC=c，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），在Rt△BOC中，由于∠CBO=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OB=

3

OC=

3

c，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

c，0），然后利用交點(diǎn)式得到拋物線解析式為y=a（x-c）（x-

3

c），展開(kāi)得y=ax²-（1+

3

）ac+

3

ac²，與原解析式對(duì)比即可得到

3

ac²=c，所以ac=

3

3

；
（3）由（2）得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

c，0），則

3

c-c=3-

3

，解得c=

3

，再利用ac=

3

3

得到a=

1

3

，然后把a(bǔ)和c的值代入y=ax²-（1+

3

）ac+

3

ac²中化簡(jiǎn)即可．

解答：（1）解：∵拋物線y=ax²+bx+c過(guò)第一、二、四象限（不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)），
∴a＞0，b＜0，c＞0；
（2）證明：C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），
在Rt△OAC中，∵∠CAO=45°，
∴OA=OC=c，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），
在Rt△BOC中，∠CBO=30°，
∴OB=

3

OC=

3

c，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

c，0），
∴拋物線解析式為y=a（x-c）（x-

3

c）
=ax²-（1+

3

）ac+

3

ac²，
∴

3

ac²=c，
∴ac=

3

3

；
（3）解：∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

c，0），
∴

3

c-c=3-

3

，
∴c=

3

，
而ac=

3

3

，
∴a=

1

3

，
∴y=

1

3

x²-（1+

3

）•

3

3

x+

3

=

1

3

x²-

3+ 3

3

•x+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．