Question

【題目】已知，四邊形是平行四邊形，，是上一點(diǎn)，滿足于點(diǎn)，連接．

（1）如圖，連接，若，求的周長；

（2）如圖，延長，交于點(diǎn)，若．求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

(1)因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是平行四邊形，可知AB=CD=，結(jié)合題目條件利用勾股定理即可得到，，從而得到△ADE的周長；

(2) 過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題目條件可證的△CDH≌△ABF≌△EFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得四邊形AHCF是正方形，BF=EF=HD，證得△BEF是等腰直角三角形，從而得出結(jié)論．

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=

∴AB=CD=

∵，

∴

∴

∵，

∴

又∵

∴

(2)過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AF⊥BC

∴CH=AF

在Rt△CHD和Rt△AFB中

(HL)

∴BF=HD

∵∠HCE+∠HCD=90°，∠HCE+ECF=90°

∴∠HCD= ECF

在△EFC和△HCD中

∴△EFC≌△HCD

∴△ABF≌△EFC

∴BF=EF=HD

∴HC=FC=AF=AH，∠FAH=90°

∴四邊形AFCH是正方形

∴∠EBF=45°

∵AD∥BC

∴∠AGB=45°

∴AE=AG

∴EF=GH

∴DG=2HD