【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作EF⊥AC于點(diǎn)E,交AB延長線于點(diǎn)F.
(1)判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若⊙O半徑為5,CD=6,求DE的長;
(3)求證:BC2=4CEAB.
【答案】(1)EF與⊙O相切,見解析;(2)DE=;(3)見解析
【解析】
(1)連接AD,OD,證明OD是△ABC的中位線,得出OD∥AC.由已知條件證得EF⊥OD,即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)勾股定理求出AD,再由三角形面積計(jì)算即可;
(3)由(1)得CD=BC,AD⊥BC,證明△CDE∽△CAD,得出,則CD2=CEAB,即可得出結(jié)論.
(1)EF與⊙O相切,理由如下:
連接AD,OD,如圖所示:
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°.
∵AB=AC,
∴AD⊥BC.
∴CD=BD=BC.
∵OA=OB,
∴OD是△ABC的中位線,
∴OD∥AC.
∵EF⊥AC,
∴EF⊥OD.
∴EF與⊙O相切.
(2)解:由(1)知∠ADC=90°,AC=AB=10,
在Rt△ADC中,由勾股定理得:AD==8.
∵SACD=ADCD=ACDE,
∴×8×6=×10×DE.
∴DE=.
(3)證明:由(1)得:CD=BC,AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∵EF⊥AC,
∴∠DEC=90°=∠ADC,
∵∠C=∠C,
∴△CDE∽△CAD,
∴,
∴CD2=CEAC,
∵AB=AC,
∴BC2=CEAB,
∴BC2=4CEAB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的對稱軸為x=1,與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B(﹣1,0),則
①二次函數(shù)的最大值為a+b+c;
②a﹣b+c<0;
③b2﹣4ac<0;
④當(dāng)y>0時,﹣1<x<3,其中正確的個數(shù)是( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一次函數(shù)y=-x+6的圖象上取一點(diǎn)P,作PA⊥x軸于點(diǎn)A,PB⊥y軸于點(diǎn)B,且矩形PBOA的面積為5,則在x軸上方滿足上述條件的點(diǎn)P是( )
A.(1,5)、(5,1)
B.(1,5)、(5,1)、(3+,3-)、(3-,3+)
C.(1,5)、(5,1)、(3-,3+)
D.(1,5)、(2+,2-)、(2-,2+)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的兩條中線的長分別為5、10,若第三條中線的長也是整數(shù),則第三條中線長的最大值( )
A.7B.8C.14D.15
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)P是上一動點(diǎn),連接AP交CD于點(diǎn)E,則的最大值是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,D為BC的中點(diǎn),連接OD并延長,交弧BC于點(diǎn)E,F為OD延長線上一點(diǎn)且滿足∠OFC=∠ABC.
(1)試判斷CF與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若∠ABC=30°,求sin∠DAO的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上,∠ADE=60°.
(1)求證:△ABD∽△DCE;
(2)如果AB=3,EC=,求DC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線,與x軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè),與y軸交于點(diǎn)A.
求拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo);
若點(diǎn)A的坐標(biāo)為,軸,交拋物線于點(diǎn)B,求點(diǎn)B的坐標(biāo);
在的條件下,將拋物線在B,C兩點(diǎn)之間的部分沿y軸翻折,翻折后的圖象記為G,若直線與圖象G有一個交點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的圖象,求m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M是拋物線上在x軸下方的動點(diǎn),過M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N,求線段MN的最大值;
(3)E是拋物線對稱軸上一點(diǎn),F是拋物線上一點(diǎn),是否存在以A,B,E,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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