【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B.

(1)求證：∠DFA＝∠ECD；

(2)△ADF與△DEC相似嗎？為什么？

(3)若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的長(zhǎng)．

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）△ADF∽△DEC，理由詳見(jiàn)解析；（3）AF＝2.

【解析】

（1）因?yàn)椤?/span>AFE＝∠B，平行四邊形的鄰角互補(bǔ)可得：∠B+∠ECD=180°；，等角的補(bǔ)角相等，所以∠AFE的領(lǐng)補(bǔ)角∠DFA=∠ECD；

（2）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明；

(3) 由平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，AB=4，AD=3，AE=3，由勾股定理可求得DE的長(zhǎng)，又由∠AFE=∠B，易證得△ADF∽△DEC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

(1)證明：∵∠AFE∠DFA＝180°，又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠B+∠ECD＝180°，又∵∠B＝∠AFE，∴∠DFA＝∠ECD.　

(2)解：△ADF∽△DEC.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°，∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.　

(3)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，CD＝AB＝4，又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，在Rt△ADE中，DE＝ ＝=6 ，∵△ADF∽△DEC，∴＝ ，∴＝，AF＝2 .

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】閱讀材料，解答問(wèn)題.

例：用圖象法解一元二次不等式：

解：設(shè)，則是的二次函數(shù).∵，

∴拋物線開(kāi)口向上.

又∵當(dāng)時(shí)，，解得，.

∴由此得拋物線的大致圖象如圖所示.

觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)或時(shí)，.

∴的解集是：或.

（1）觀察圖象，直接寫出一元二次不等式：的解集是______；

（2）仿照材料、用圖象法解一元二次不等式：.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，2），過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B，在y軸的正半軸上取一點(diǎn)P（0，t），過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，點(diǎn)B經(jīng)軸對(duì)稱變換得到的點(diǎn)B'在此反比例函數(shù)的圖象上，則t的值是（　�。�

A. 1+B. 4+C. 4D. -1+

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年4月23日是第二十四個(gè)“世界讀書日“．某校組織讀書征文比賽活動(dòng)，評(píng)選出一、二、三等獎(jiǎng)若干名，并繪成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（不完整），請(qǐng)你根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題：

（1）求本次比賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“二等獎(jiǎng)”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)；

（3）學(xué)校從甲、乙、丙、丁4位一等獎(jiǎng)獲得者中隨機(jī)抽取2人參加“世界讀書日”宣傳活動(dòng)，請(qǐng)用列表法或畫樹(shù)狀圖的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】聊城流傳著一首家喻戶曉的民謠：“東昌府，有三寶，鐵塔、古樓、玉皇皋．”被人們譽(yù)為三寶之一的鐵塔，初建年代在北宋早期，是本市現(xiàn)存最古老的建筑．如圖，測(cè)繪師在離鐵塔10米處的點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為α，他又在離鐵塔25米處的點(diǎn)D測(cè)得塔頂A的仰角為β，若tanαtanβ＝1，點(diǎn)D，C，B在同一條直線上，那么測(cè)繪師測(cè)得鐵塔的高度約為(參考數(shù)據(jù)： ≈3.162)(　　)

A. 15.81米 B. 16.81米 C. 30.62米 D. 31.62米

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊的邊在軸正半軸上，點(diǎn)，，點(diǎn)、分別從、出發(fā)以相同的速度向、運(yùn)動(dòng)，連接、交于點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)，則的最小值為______.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，正方形ABCD中，AD＝4，E在AB上且AB＝4BE，連接CE，作BF⊥CE于F，正方形對(duì)角線交于O點(diǎn)，連接OF，將△COF沿CE翻折得△CGF，連接BG，則BG的長(zhǎng)為_____．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，過(guò)點(diǎn)O作OE∥AB，交BC于E．

（1）求證：ED為⊙O的切線；

（2）如果⊙O的半徑為，ED=2，延長(zhǎng)EO交⊙O于F，連接DF、AF，求△ADF的面積．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：（1）首先連接OD，由OE∥AB，根據(jù)平行線與等腰三角形的性質(zhì)，易證得≌ 即可得，則可證得為的切線；
（2）連接CD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可得 利用勾股定理即可求得的長(zhǎng)，又由OE∥AB，證得根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得的長(zhǎng)，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)，求得與的長(zhǎng)，然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案．

試題解析：(1)證明：連接OD，

∵OE∥AB，

∴∠COE=∠CAD，∠EOD=∠ODA，

∵OA=OD,

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠COE=∠DOE，

在△COE和△DOE中，

∴△COE≌△DOE(SAS)，

∴ED⊥OD，

∴ED是的切線；

(2)連接CD，交OE于M，

在Rt△ODE中，

∵OD=32，DE=2，

∵OE∥AB，

∴△COE∽△CAB，

∴AB=5，

∵AC是直徑，

∵EF∥AB，

∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF

∴△ADF的面積為

【題型】解答題
【結(jié)束】
25

【題目】【題目】已知，拋物線y=ax2+ax+b（a≠0）與直線y=2x+m有一個(gè)公共點(diǎn)M（1，0），且a＜b．

（1）求b與a的關(guān)系式和拋物線的頂點(diǎn)D坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示）；

（2）直線與拋物線的另外一個(gè)交點(diǎn)記為N，求△DMN的面積與a的關(guān)系式；

（3）a=﹣1時(shí)，直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點(diǎn)G，點(diǎn)G、H關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平移t個(gè)單位（t＞0），若線段GH與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，試求t的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線y＝上．

(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由．

(3)在(2)的條件下，若M點(diǎn)是CD所在直線下方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN平行于y軸交CD于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，MN的長(zhǎng)度為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量t的取值范圍，并求s取大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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