【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為(m,0),(n,4),且m>0,四邊形ABCD是矩形.
(1)如圖1,當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí),求m,n的值;
(2)在圖2中,畫出矩形ABCD,簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)C,D的位置是如何確定的,并直接用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)探究:當(dāng)m為何值時(shí),矩形ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)度最短.
【答案】(1)m=1,n=3;(2)C(m+,1);(3)當(dāng)m=時(shí),矩形ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)最短為4.
【解析】
試題分析:(1)先判斷出∠ADE=∠BAO,即可判斷出△ABO≌△ADE,得出DE=OA=3,AE=OB,即可求出m;
(2)先根據(jù)垂直的作法即可畫出圖形,判斷出△ADE≌△CBF,得出CF=1,再判斷出△AOB∽△DEA,即可得出OB=,即可得出結(jié)論;
(3)先判斷出BD⊥x軸時(shí),求出AC的最小值,再求出DM=2,最后用勾股定理求出AE即可得出m.
試題解析:(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于E,
∴∠AED=∠AOB=90°,∴∠ADE+∠DAE=90°,
∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠BAD=90°,
∴∠DAE+∠BAO=90°,∴∠ADE=∠BAO,
在△ABO和△ADE中,,
∴△ABO≌△ADE,
∴DE=OA,AE=OB,
∵A(0,3),B(m,0),D(n,4),
∴OA=3,OB=m,OE=4,DE=n,∴n=3,
∴OE=OA+AE=OA+OB=3+m=4,∴m=1;
(2)畫法:如圖2,①過(guò)點(diǎn)A畫AB的垂線l1,
過(guò)點(diǎn)B畫AB的垂線l2,
②過(guò)點(diǎn)E(0,4),畫y軸的垂線l3交l1于D,
③過(guò)點(diǎn)D畫直線l1的垂線交直線l2于點(diǎn)C,
所以,四邊形ABCD是所求作的圖形,
過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于F,
∴∠CBF+∠BCF=90°,
∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠ABC=∠BAD=90°,
∴∠ABO+∠CBF=90°,∴∠BCF=∠ABO,同理:∠ABO=∠DAE,
∴∠BCF=∠DAE,
在△ADE和△CBF中,,
∴△ADE≌△CBF,
∴DE=BF=n,AE=CF=1,
易證△AOB∽△DEA,∴,∴,∴n=,
∴OF=OB+BF=m+,∴C(m+,1);
(3)如圖3,由矩形的性質(zhì)可知,BD=AC,
∴BD最小時(shí),AC最小,
∵B(m,0),D(n,4),
∴當(dāng)BD⊥x軸時(shí),BD有最小值4,此時(shí),m=n,
即:AC的最小值為4,
連接BD,AC交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于E,
由矩形的性質(zhì)可知,DM=BM=BD=2,
∵A(0,3),D(n,4),∴DE=1,∴EM=DM﹣DE=1,
在Rt△AEM中,根據(jù)勾股定理得,AE=,∴m=,即:
當(dāng)m=時(shí),矩形ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)最短為4.
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(Ⅱ)若弧弧,,求證:是的切線.
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【題目】某地一天的最高氣溫是12℃,最低氣溫是2℃,則該地這天的溫差是( )
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(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0).
①求拋物線l的表達(dá)式,并直接寫出當(dāng)x為何值時(shí),函數(shù)的值y隨x的增大而增大;
②如圖2,若過(guò)A點(diǎn)的直線交函數(shù)的圖象于另外兩點(diǎn)P,Q,且S△ABQ=2S△ABP,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)當(dāng)2<x<3時(shí),若函數(shù)f的值隨x的增大而增大,直接寫出h的取值范圍.
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