Question

已知如圖1，線段AB、CD相交于點O,連結(jié)AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”. 那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？下面就請你發(fā)揮聰明才智，解決以下問題：

 (1) 在圖1中，請寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；

（2）仔細觀察，在圖2中“8”字形”的個數(shù)       個；

（3）在圖2中，若∠D=40⁰,∠B=36⁰，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N.利用（1）的結(jié)論，試求∠P的度數(shù)；

（4）如果圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)論即可）。

 

Answer 1

【答案】

（1）∠A+∠D=∠C+∠B（2）6個（3）45°（4）2∠P=∠D+∠B

【解析】（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，    2分

∴∠A+∠D=∠C+∠B；    

（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；

②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；

③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；

④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；

⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；

⑥線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；

故“8字形”共有6個；                                      2分     

（寫到3個得1分）

（3）∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②     

∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，

∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，

①+②得：

∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，

即2∠P=∠D+∠B，                         

又∵∠D=50°，∠B=40°  ∴2∠P=50°+40°，

∴∠P=45°；                                                    3分          

（4）關(guān)系：2∠P=∠D+∠B．                                           2分

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）根據(jù)“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；

（3）先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，將①+②，可得2∠P=∠D+∠B，進而求出∠P的度數(shù)．

（4）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求證