Question

已知如圖1，線段AB、CD相交于O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：

（1）在圖1中，請寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)

6

個；
（3）在圖2中，若∠D=46°，∠B=30°，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N，利用（1）的結(jié)論，試求∠P的度數(shù)；
（4）如果圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系：

2∠P=∠B+∠D

．（直接寫出結(jié)論即可）
（5）如圖3所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=

360°

．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的內(nèi)角和定理表示出∠AOD與∠BOC，再根據(jù)對頂角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解；
（2）根據(jù)“8字形”的結(jié)構(gòu)特點，根據(jù)交點寫出“8字形”的三角形，然后確定即可；
（3）根據(jù)（1）的關(guān)系式求出∠OCB-∠OAD，再根據(jù)角平分線的定義求出∠DAM-∠PCM，然后利用“8字形”的關(guān)系式列式整理即可得解；
（4）根據(jù)“8字形”用∠B、∠D表示出∠OCB-∠OAD，再用∠D、∠P表示出∠DAM-∠PCM，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠DAM-∠PCM=

1

2

（∠OCB-∠OAD），然后整理即可得證；
（5）連接AD，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°可得∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=360°，根據(jù)“8字形”的熟練關(guān)系可得∠E+∠F=∠EDA+∠FAD，然后即可得解．

解答：解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°-∠A-∠D，
在△BOC中，∠BOC=180°-∠B-∠C，
∵∠AOD=∠BOC（對頂角相等），
∴180°-∠A-∠D=180°-∠B-∠C，
∴∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）交點有點M、N各有1個，交點O有4個，
所以，“8字形”圖形共有6個；

（3）∵∠D=46°，∠B=30°，
∴∠OAD+46°=∠OCB+30°，
∴∠OCB-∠OAD=16°，
∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，
∴∠DAM=

1

2

∠OAD，∠PCM=

1

2

∠OCB，
又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，
∴∠P=∠DAM+∠D-∠PCM=

1

2

（∠OAD-∠OCB）+∠D=

1

2

×（-16°）+46°=38°；

（4）根據(jù)“8字形”數(shù)量關(guān)系，∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，
所以，∠OCB-∠OAD=∠D-∠B，∠PCM-∠DAM=∠D-∠P，
∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，
∴∠DAM=

1

2

∠OAD，∠PCM=

1

2

∠OCB，
∴

1

2

（∠D-∠B）=∠D-∠P，
整理得，2∠P=∠B+∠D；

（5）如圖，連接AD，則∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=360°，
根據(jù)“8字形”數(shù)量關(guān)系，∠E+∠F=∠EDA+∠FAD，
所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，多邊形的內(nèi)角和定理，對頂角相等的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．