Question

【題目】如圖，將一張矩形紙片沿著對(duì)角線向上折疊，頂點(diǎn)落到點(diǎn)處，交于點(diǎn)

（1）求證：是等腰三角形；

（2）如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)

①判斷四邊形的形狀，并說明理由；

②若，，求的長

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①菱形，見解析，②

【解析】

（1）證明△BDF是等腰三角形，可證明BF=DF，可通過證明∠EBD=∠FDB實(shí)現(xiàn)，利用折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解決；
（2）①先判斷四邊形BFDG是平行四邊形，再由（1）BF=FD得到結(jié)論；
②要求FG的長，可先求出OF的長，在Rt△BFO中，BO可由AB、AD的長及菱形的性質(zhì)求得，解決問題的關(guān)鍵是求出BF的長．在Rt△BFA中，知AB=6、AF+BF=AD=8，可求出BF的長，問題得以解決．

（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD，

由折疊的性質(zhì)可知：∠EBD=∠CBD，∴∠ADB=∠EBD，

∴BF=FD

∴△BDF是等腰三角形；

（2）如圖2，

① 四邊形是菱形.

理由：∵FD∥BG,DG∥BE，

∴四邊形BFDG是平行四邊形，

又∵BF=DF，

∴四邊形BFDG是菱形；

② 設(shè)AF=x，則FD=8x，

∴由折疊性質(zhì)得BF=FD=8x，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：

解得：，

∴FD=，

在Rt△ABD中，∵AB=6，AD=8，

∴BD=10

∵四邊形BFDG是菱形，

∴OD=BD=5,FO=FG，FG⊥BD，

在Rt△ODF中，

∵，即,

∴FO=，

∴FG=2FO=,

故答案為：.

的長為.