Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝﹣x2＋bx＋c交y軸于點A（0,4），交x軸于點B（4,0），點P是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線PQ，過點A作AQ⊥PQ于點Q，連接AP．

（1）填空：拋物線的解析式為 ，點C的坐標 ；

（2）點P在拋物線上運動，若△AQP∽△AOC，求點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2＋3x＋4，（－1,0）（2）點P的坐標為（，）或（，）

【解析】分析：（1）把A、B的坐標代入拋物線解析式，即可求得b、c的值，從而得到拋物線的解析式．令y=0，解方程可求得點C的坐標．

（2）由點A、點C的坐標，得到．設P（m， ﹣m2＋3m＋4）．分兩種情況討論：

①當點P在直線AQ下方時，QP＝4－（﹣m2＋3m＋4）＝ m2－3m，

由△AQP∽△AOC得：，即：，解方程即可得到結論．

當時，﹣m2＋3m＋4＝，此時點P的坐標為（）；

②當點P在直線AQ上方時，PQ＝﹣m2＋3m＋4－4＝﹣m2＋3m，

由△AQP∽△AOC得：，即：，解方程即可得到結論．

詳解：（1）∵拋物線y＝﹣x2＋bx＋c交y軸于點A（0，4），交x軸于點B（4，0），

∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2＋3x＋4．

令y=0，得：﹣x2＋3x＋4=0，解得：x=4或x=－1，∴點C的坐標為（－1，0）．

（2）∵點A的坐標為（0，4），點C的坐標為（－1，0），∴．

∵點P的橫坐標為m，∴P（m， ﹣m2＋3m＋4）．

①當點P在直線AQ下方時，QP＝4－（﹣m2＋3m＋4）＝ m2－3m，

由△AQP∽△AOC得：，即：，

∴（舍去）或．

當時，﹣m2＋3m＋4＝，此時點P的坐標為（）；

②當點P在直線AQ上方時，PQ＝﹣m2＋3m＋4－4＝﹣m2＋3m，

由△AQP∽△AOC得：，即：，

∴ ＝0（舍去）或＝，此時P點坐標為（）．

綜上所述：點P的坐標為（）或（）．